合成関数

2017年3月31日

合成関数についてです。文系でも他分野とからめて頻繁に出題されてますし、理系でも微分で合成関数の微分というものがあります。しっかり理解しておく必要があります。

1.((3) 早稲田大)
(1) f(x)=x-1,~g(x)=x^2のとき,g \circ f(x),~f \circ g(x)を求めよ.
(2) f(x)=x-1~(x \geqq 1),~g(x)=\sqrt{x}とするとき,g \circ f(x)を求めよ.
(3) 実数aに対して,f(x)=ax+2とする.f(f(f(x)))f(x)の逆関数になるようなaを求めよ.

解答

2.(甲南大)
2つの関数
f(x)=\left\{\begin{array}{l} x+1~(x<-1)\\ 0~(-1 \leqq x < 1)\\ x-1~(1 \leqq x) \end{array}\right.~,g(x)=x^2-\dfrac{1}{2}
について,
(1) y=f(x)のグラフをかけ.
(2) 合成関数(g \circ f)(x)=g(f(x))を求め,y=(g \circ f)(x)のグラフをかけ.
(3) 合成関数(f \circ g)(x)=f(g(x))を求めよ.

解答

3.(武蔵工業大)
関数f(x)=\dfrac{3x-1}{2x+1}g(x)=\dfrac{ax+1}{bx+c}の合成関数(f \circ g)(x)(f \circ g)(x)=xを満たしている.このとき,a,~b,~cを求めよ.さらに,合成関数(g \circ f)(x),~(g \circ g)(x)を求めよ.

解答

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