合成関数と方程式２

2016年10月4日2017年3月31日

合成関数と方程式の問題の続きです。絶対値が絡んだものをいくつか。

１．(名古屋大)
関数 $f(x)=-|2x-1|+1~(0 \leqq x \leqq 1)$ を用いて，関数 $g(x)=-|2f(x)-1|+1~(0 \leqq x \leqq 1)$ を考える． $0<c<1$ のとき， $g(x)=c$ を満たす $x$ を求めよ．

→解答

２．(東京女子大)
$f(x)=-2|x-1|+2$ とする．
(1) $f(x)=x$ をみたす実数 $x$ をすべて求めよ．
(2) $f(f(x))=f(x)$ をみたす実数 $x$ をすべて求めよ．

→解答

３．(北海道大)
$0 \leqq x \leqq 1$ で定義された関数 $f(x)=|2x-1|$ について，
(1) $y=f(f(x))$ のグラフをかけ．
(2) $f(f(f(x)))=x$ となる $x$ の個数を求めよ．

→解答

４．(早稲田大)
実数 $x$ に対して， $f_1(x)=|x|-1$ とする．さらに，自然数 $n=1,~2,~3,~\cdots$ に対して， $f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))$ と定義する．このとき，方程式 $f_{2004}(x)=0$ の解の個数を求めよ．

→解答

５．(お茶の水女子大)
0以上の実数全体で定義された関数 $f_n(x)$ を次のように帰納的に定める．
$f_1(x)=||x-1|-1|,$
$f_{n+1}(x)=||f_n(x)-(n+1)|-(n+1)|~(n \geqq 1)$
このとき
(1) $y=f_1(x),~y=f_2(x)$ のグラフをかけ．
(2) $f_n(x)=0$ となる $x$ をすべて求めよ．
(3) $y=f_n(x)$ のグラフの概形をかけ．