合成関数と方程式2

2017年3月31日

合成関数と方程式の問題の続きです。絶対値が絡んだものをいくつか。

1.(名古屋大)
関数f(x)=-|2x-1|+1~(0 \leqq x \leqq 1)を用いて,関数g(x)=-|2f(x)-1|+1~(0 \leqq x \leqq 1)を考える.0<c<1のとき,g(x)=cを満たすxを求めよ.

解答

2.(東京女子大)
f(x)=-2|x-1|+2とする.
(1) f(x)=xをみたす実数xをすべて求めよ.
(2) f(f(x))=f(x)をみたす実数xをすべて求めよ.

解答

3.(北海道大)
0 \leqq x \leqq 1で定義された関数f(x)=|2x-1|について,
(1) y=f(f(x))のグラフをかけ.
(2) f(f(f(x)))=xとなるxの個数を求めよ.

解答

4.(早稲田大)
実数xに対して,f_1(x)=|x|-1とする.さらに,自然数n=1,~2,~3,~\cdotsに対して,f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))と定義する.このとき,方程式f_{2004}(x)=0の解の個数を求めよ.

解答

5.(お茶の水女子大)
0以上の実数全体で定義された関数f_n(x)を次のように帰納的に定める.
f_1(x)=||x-1|-1|,
f_{n+1}(x)=||f_n(x)-(n+1)|-(n+1)|~(n \geqq 1)
このとき
(1) y=f_1(x),~y=f_2(x)のグラフをかけ.
(2) f_n(x)=0となるxをすべて求めよ.
(3) y=f_n(x)のグラフの概形をかけ.

解答

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