解の配置と領域１

2016年10月4日

解の配置と領域の問題です。問題自体も頻出ですが、通過領域の問題で必要となってくるのでやっておきます。

１．(中央大)
2次方程式 $x^2+ax+b=0$ について，
(1) 異なる実数解 $\alpha,~\beta$ をもつための条件を $a,~b$ を用いて表せ．
(2) 異なる実数解 $\alpha,~\beta$ が同符号で， $|\alpha-\beta|<2$ を満たすための条件を， $a,~b$ を用いて表せ．
(3) 横に $a$ 軸，縦に $b$ 軸をとり， $ab$ 平面上に(2)の表す領域を図示せよ．

２．(名城大)
$p,~q$ を実数とするとき，方程式 $x^2+px+q=0$ が実数解 $\alpha,~\beta$ をもち， $|\alpha|+|\beta| \leqq 2$ となるような点 $(p,q)$ の存在する領域を $D$ とする．
(1) $D$ を座標平面上で図示せよ．
(2) 点 $(p,q)$ が $D$ の内部および周上を動くとき， $p-2q$ のとりうる値の範囲を求めよ．