高次方程式と解の個数

解の配置の高次方程式への応用です。

1.(奈良女子大)
(1) xについての2次方程式x^2+ax+b=0の異なる実数解の個数が2個であるとき,実数a,~bのみたす条件を求めよ.
(2) xについての4次方程式x^4+ax^2+b=0の異なる実数解の個数が4個であるとき,実数a,~bのみたす条件を求めよ.
(3) xについての4次方程式x^4+ax^2+b=0の異なる実数解の個数が2個であるとき,実数a,~bのみたす条件を求めよ.
(4) a,~bが(3) の条件を満たすとき,点(a,b)の存在する領域をab平面上に図示せよ.

2.(同志社大)
xに関する方程式(x^2-2x+a)^2+(x^2-2x+a)+b=0の実数解はちょうど2個であり,0<x<1の範囲にはただ1つの解しかないという.このとき点(a,b)の存在範囲を図示せよ.ただし,b<\dfrac{1}{4}とする.

3.(早稲田大)
(1) 実数x \ne 0に対して\left|x+\dfrac{1}{x}\right|の取りうる値の範囲を求めよ.
(2) a,~bを実数の定数とする.方程式x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0が実数解をもたないとき,点(a,b)の存在範囲を求めよ.

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