合成関数と解の個数

2016年10月4日

合成された方程式の解の個数の問題です。

１．(広島大、防衛大)
$a,~b$ を実数とする． $x$ の方程式 $4^x+a \cdot 2^{x+1}+b=0$ について，
(1) $a=-1,~b=-3$ のときの解を求めよ．
(2) この方程式が異なる2つの実数解をもつような点 $(a,b)$ 全体の集合を，座標平面上に図示せよ．
(3) この方程式がただ1つの実数解をもつような点 $(a,b)$ 全体の集合を，座標平面上に図示せよ．

２．(筑波大)
$p,~q$ を正の実数とする． $x$ の方程式 $\log_{10}(px)\cdot\log_{10}(qx)+1=0$ が1より大きい解をもつとき，点 $(\log_{10}p,\log_{10}q)$ の存在する範囲を座標平面上に図示せよ．

３．(関西大)
$g(\theta)=\sin^2\theta+2b\cos\theta-c-1~(0^{\circ}\leqq \theta<360^{\circ})$ とする． $g(\theta)=0$ をみたす $\theta$ が存在するための $b,~c$ の条件を求め，その条件をみたす点 $(b,c)$ の存在する範囲を $bc$ 平面上に図示せよ．