直線の通過領域４

2016年10月5日2019年5月23日

包絡線の問題です。

１．B (早稲田大)
直線 $l:y=mx+m^2+m+1$ は $m$ がどんな値をとっても，ある一定の $y$ 軸と平行な軸をもつ放物線と接している．この放物線の方程式を求めよ．また，直線 $l$ の通過する領域を求め，図示せよ．

２．B (神戸大)
実数 $t$ に対して $xy$ 平面上の直線 $l_t:y=2tx-t^2$ を考える．
(1) 点Pを通る直線 $l_t$ はただ1つであるとする．このような点Pの軌跡の方程式を求めよ．
(2) $t$ が $|t| \geqq 1$ の範囲を動くとき，点 $l_t$ が通る点 $(x,y)$ の全体を図示せよ．

→解答

３．C (神戸大)
実数 $t$ に対して， $xy$ 平面上の直線 $(1-t^2)x-2ty=1+t^2$ は， $t$ の値によらずある円 $C$ に接しているものとする．
(1) 円 $C$ の方程式を求めよ．また，接点の座標を求めよ．
(2) $t$ が $t \geqq 1$ の範囲を動くとき，直線の通過する範囲を図示せよ．

→解答

４．B (名城大)
$xy$ 平面上に，直線 $l:x\cos\theta+y\sin\theta=\cos\theta+1$ がある．
(1) $l$ と点 $(1,0)$ との距離は $\theta$ の値によらず一定であることを示し，その値を求めよ．
(2) $\theta$ の値が $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ の範囲を変化するとき， $l$ が通過する領域を図示せよ．