直線の通過領域の応用１

2016年10月5日2018年1月28日

直線の通過領域の応用問題です。

１．B (筑波大)
Oを原点とする $xy$ 平面において，直線 $y=1$ の $|x| \geqq 1$ を満たす部分を $C$ とする．
(1) $C$ 上に点A $(t,1)$ をとるとき，線分OAの垂直二等分線の方程式を求めよ．
(2) 点Aが $C$ 全体を動くとき，線分OAの垂直二等分線が通過する範囲を求め，それを図示せよ．

→解答

２．B (北海道大)
$xy$ 平面上の放物線 $A:y=x^2,~B:y=-(x-a)^2+b$ は異なる2点P $(x_1,y_1)$ , Q $(x_2,y_2)~(x_1>x_2)$ で交わるとする．
(1) $x_1-x_2=2$ が成り立つとき， $b$ を $a$ で表せ．
(2) $x_1-x_2=2$ を満たしながら $a,~b$ が変化するとき，直線PQの通過する領域を求め図示せよ．

→解答

３．B (立教大)
$xy$ 平面上に3点O $(0,0)$ , A $(4,0)$ , B $(0,4)$ を頂点とする三角形がある．辺OA上の点P $(a,0)$ と，辺OB上の点Q $(0,b)$ を結ぶ線分PQが，この三角形の面積を二等分しながら自由に動いている．このとき，
(1) 点 $(a,b)$ の動く範囲を記せ．
(2) 線分PQの存在する範囲を記せ．

→解答

４．C (防衛医大)
(1) 座標平面上に1辺の長さが8の正方形OABCを作る．Oは原点，Aは $(8,0)$ ，Cは $(0,8)$ とする．ある直線が辺OCとAB上を通り，OABCの面積を2等分するとき，この直線の傾きが取り得る範囲を求めよ．また，この条件を満たす直線が必ず通る点があれば，その座標を求めよ．
(2) 座標平面上に1辺の長さが8の正三角形OABを作る．Oは原点，Bは $(0,8)$ ，Aは第1象限にあるものとする．ある直線が辺OAとOB上を通り， $\bigtriangleup$ OABの面積を2等分するとき，この直線が $\bigtriangleup$ OAB上に取り得る範囲を図示せよ．