対数の性質

対数が有理数であるか無理数であるかの問題です。

1.(千葉大)
(1) \log_2 3は無理数であることを証明せよ.
(2) nが正の整数のとき,\log_2 nが整数でない有理数となることがあるかどうか調べよ.

2.(一橋大)
(1) \log_5 3は無理数であることを示せ.
(2) \log_{10}rが有理数となる有理数rは,r=10^q~(q=0,~±1,~±2,~\cdots)に限ることを示せ.
(3) 任意の正の整数nに対して,\log_{10}(1+3+3^2+\cdots+3^n)は無理数であることを示せ.

次は少し変わった問題です。背理法なしで証明できるでしょうか。

3.(東京理科大)
この問題の解答に背理法を用いてはならない.なお,必要なら正の整数に関する素因数分解を用いてよい.
(1)(a) 「正の整数mについて,\log_{10}mが有理数ならば\log_{10}mは整数である.」このことを証明せよ.
(b) (a)に述べられた事実を用いて,次の2013個の数
\log_{10}1,~\log_{10}2,~\log_{10}3,~\cdots,~\log_{10}2012,~\log_{10}2013のうち無理数となるものはいくつあるか理由を述べ答えよ.さらに,有理数となるものをすべて求めよ.
(2)(a) 「2つの正の整数m,~nについて,\sqrt[n]{m}が有理数ならば\sqrt[n]{m}は整数である.」このことを証明せよ.
(b) (a)に述べられた事実を用いて,次の2013個の数
\sqrt[6]{1},~\sqrt[6]{2},~\sqrt[6]{3},~\cdots,~\sqrt[6]{2012},~\sqrt[6]{2013}
のうち無理数となるものはいくつあるか理由を述べ答えよ.さらに,有理数となるものをすべて求めよ.
(c) (a)で述べられた事実を用いて,次の2013個の数
\sqrt{1},~\sqrt{2},~\sqrt{3},~\cdots,~\sqrt{2012},~\sqrt{2013}
のうち無理数となるものはいくつあるか理由を述べ答えよ.

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