対数の性質

2016年10月5日

対数が有理数であるか無理数であるかの問題です。

１．(千葉大)
(1) $\log_2 3$ は無理数であることを証明せよ．
(2) $n$ が正の整数のとき， $\log_2 n$ が整数でない有理数となることがあるかどうか調べよ．

２．(一橋大)
(1) $\log_5 3$ は無理数であることを示せ．
(2) $\log_{10}r$ が有理数となる有理数 $r$ は， $r=10^q~(q=0,~±1,~±2,~\cdots)$ に限ることを示せ．
(3) 任意の正の整数 $n$ に対して， $\log_{10}(1+3+3^2+\cdots+3^n)$ は無理数であることを示せ．

次は少し変わった問題です。背理法なしで証明できるでしょうか。

３．(東京理科大)
この問題の解答に背理法を用いてはならない．なお，必要なら正の整数に関する素因数分解を用いてよい．
(1)(a) 「正の整数 $m$ について， $\log_{10}m$ が有理数ならば $\log_{10}m$ は整数である．」このことを証明せよ．
(b) (a)に述べられた事実を用いて，次の2013個の数
$\log_{10}1,~\log_{10}2,~\log_{10}3,~\cdots,~\log_{10}2012,~\log_{10}2013$ のうち無理数となるものはいくつあるか理由を述べ答えよ．さらに，有理数となるものをすべて求めよ．
(2)(a) 「2つの正の整数 $m,~n$ について， $\sqrt[n]{m}$ が有理数ならば $\sqrt[n]{m}$ は整数である．」このことを証明せよ．
(b) (a)に述べられた事実を用いて，次の2013個の数
$\sqrt[6]{1},~\sqrt[6]{2},~\sqrt[6]{3},~\cdots,~\sqrt[6]{2012},~\sqrt[6]{2013}$
のうち無理数となるものはいくつあるか理由を述べ答えよ．さらに，有理数となるものをすべて求めよ．
(c) (a)で述べられた事実を用いて，次の2013個の数
$\sqrt{1},~\sqrt{2},~\sqrt{3},~\cdots,~\sqrt{2012},~\sqrt{2013}$
のうち無理数となるものはいくつあるか理由を述べ答えよ．

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