対数の近似値

対数の近似値を求める問題です。

1.(岩手大)
\log_{10}2\dfrac{3}{10}より大きいことを示せ.さらに,80<81および243<250であることに注意して,\dfrac{3}{10}<\log_{10}2<\dfrac{23}{75},~\dfrac{19}{40}<\log_{10}3<\dfrac{12}{25}であることを示せ.

2.(岩手大)
次の不等式が成り立つことを示せ.ただし,2^{10}>1000,~3^7>2000,~\dfrac{2}{6.5}<0.31,~\dfrac{3.3}{7}>0.47である.
(1) 2^{6.5}<10^2
(2) 0.30<\log_{10}2<0.31
(3) 0.47<\log_{10}3<0.48

3.(広島大)
(1) \log_2 3=\dfrac{m}{n}を満たす自然数m,~nは存在しないことを証明せよ.
(2) p,~qを異なる自然数とするとき,p\log_2 3q\log_2 3の小数部分は等しくないことを証明せよ.
(3) \log_2 3の値の小数第1位を求めよ.

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