対数の近似値

2016年10月5日

対数の近似値を求める問題です。

１．(岩手大)
$\log_{10}2$ は $\dfrac{3}{10}$ より大きいことを示せ．さらに， $80<81$ および $243<250$ であることに注意して， $\dfrac{3}{10}<\log_{10}2<\dfrac{23}{75},~\dfrac{19}{40}<\log_{10}3<\dfrac{12}{25}$ であることを示せ．

２．(岩手大)
次の不等式が成り立つことを示せ．ただし， $2^{10}>1000,~3^7>2000,~\dfrac{2}{6.5}<0.31,~\dfrac{3.3}{7}>0.47$ である．
(1) $2^{6.5}<10^2$
(2) $0.30<\log_{10}2<0.31$
(3) $0.47<\log_{10}3<0.48$

３．(広島大)
(1) $\log_2 3=\dfrac{m}{n}$ を満たす自然数 $m,~n$ は存在しないことを証明せよ．
(2) $p,~q$ を異なる自然数とするとき， $p\log_2 3$ と $q\log_2 3$ の小数部分は等しくないことを証明せよ．
(3) $\log_2 3$ の値の小数第1位を求めよ．