桁数の問題１

2016年10月5日2018年8月19日

桁数、最高位の数の問題です。大きな数や小さい数を扱うときに、数をそのまま扱うのではなく、オーダー(桁数)に注目することがよくあります。対数はその際にとても有用です。物理や化学などでもよく使われます。

１．(宮城教育大)
$0.30<\log_{10}2<0.32$ である．このことを用いて，次の問いに答えよ．
(1) $\dfrac{1}{2^{60}}$ を小数で表したとき，小数第何位までは0だといえるか．
(2) $\dfrac{1}{5^{200}}$ は小数第139位まで0で，第140位は1，第141位は0でない数である． $\log_{10}5$ はどんな範囲に入る数といえるか．
(3) $5^{80}$ は何桁の整数か．

２．(北海道大)
近似値 $\log_{10}2=0.3010,~\log_{10}3=0.4771$ を利用して， $18^{35}$ の桁数と最高位の数字を求めよ．

次はありそうであまりなかった問題。上から2桁目の数を求める問題です。自作してほぼ同じ問題を授業で扱ったりしていましたが、大学入試で出題されていたことはあまりなかったと思います。

３．(防衛大)
$N=2^{100}$ について，次の問いに答えよ．ただし， $\log_{10}2=0.3010,~\log_{10}3=0.4771,~\log_{10}7=0.8451,~\log_{10}11=1.0414,~\log_{10}13=1.1139$ とする．
(1) $N$ の桁数を求めよ．
(2) $N$ の最高位の数字を求めよ．
(3) $N$ の最高位から1つ下の位の数字を求めよ．

４．(早稲田大)
次の問いに答えよ．ただし， $\log_{10}2=0.3010,~\log_{10}3=0.4771,~\log_{10}7=0.8451,~\log_{10}11=1.0414$ とする．
(1) $3^{20}$ の1の位の数字を求めよ．
(2) $n$ を自然数とし， $3^n$ が21桁で1の位の数字が7となるとき、 $n$ の値を求めよ．
(3) $7^{70}$ の最高位の数字を求めよ．
(4) $7^{70}$ の最高位の次の位の数字を求めよ．

５．(宮崎大)
$p=\dfrac{2^{148}+1}{17}$ は整数である． $p$ は何桁の整数か答えよ．ただし， $0.301<\log_{10}2<0.302$ である．

６．(慶応大)
$a$ は $2^{2\log_4 48-\log_2\frac{3}{4}}$ である．ただし， $\log_{10}2=0.3010$ とする．このとき，
(1) $a$ の値を整数で表すと(　　)である．
(2) $a^{30}$ は(　　)桁の数である．
(3) $b$ は， $b^{50}$ を小数で表すと小数第25位に初めて0でない数字が現れる正の数である．このとき $\left(\dfrac{b}{a}\right)^4$ を小数で表すと，小数第(　　)位に初めて0でない数字が現れる．