桁数の問題1

2018年8月19日

桁数、最高位の数の問題です。大きな数や小さい数を扱うときに、数をそのまま扱うのではなく、オーダー(桁数)に注目することがよくあります。対数はその際にとても有用です。物理や化学などでもよく使われます。

1.(宮城教育大)
0.30<\log_{10}2<0.32である.このことを用いて,次の問いに答えよ.
(1) \dfrac{1}{2^{60}}を小数で表したとき,小数第何位までは0だといえるか.
(2) \dfrac{1}{5^{200}}は小数第139位まで0で,第140位は1,第141位は0でない数である.\log_{10}5はどんな範囲に入る数といえるか.
(3) 5^{80}は何桁の整数か.

2.(北海道大)
近似値\log_{10}2=0.3010,~\log_{10}3=0.4771を利用して,18^{35}の桁数と最高位の数字を求めよ.

次はありそうであまりなかった問題。上から2桁目の数を求める問題です。自作してほぼ同じ問題を授業で扱ったりしていましたが、大学入試で出題されていたことはあまりなかったと思います。

3.(防衛大)
N=2^{100}について,次の問いに答えよ.ただし,\log_{10}2=0.3010,~\log_{10}3=0.4771,~\log_{10}7=0.8451,~\log_{10}11=1.0414,~\log_{10}13=1.1139とする.
(1) Nの桁数を求めよ.
(2) Nの最高位の数字を求めよ.
(3) Nの最高位から1つ下の位の数字を求めよ.

4.(早稲田大)
次の問いに答えよ.ただし,\log_{10}2=0.3010,~\log_{10}3=0.4771,~\log_{10}7=0.8451,~\log_{10}11=1.0414とする.
(1) 3^{20}の1の位の数字を求めよ.
(2) nを自然数とし,3^nが21桁で1の位の数字が7となるとき、nの値を求めよ.
(3) 7^{70}の最高位の数字を求めよ.
(4) 7^{70}の最高位の次の位の数字を求めよ.

5.(宮崎大)
p=\dfrac{2^{148}+1}{17}は整数である.pは何桁の整数か答えよ.ただし,0.301<\log_{10}2<0.302である.

6.(慶応大)
a2^{2\log_4 48-\log_2\frac{3}{4}}である.ただし,\log_{10}2=0.3010とする.このとき,
(1) aの値を整数で表すと(  )である.
(2) a^{30}は(  )桁の数である.
(3) bは,b^{50}を小数で表すと小数第25位に初めて0でない数字が現れる正の数である.このとき\left(\dfrac{b}{a}\right)^4を小数で表すと,小数第(  )位に初めて0でない数字が現れる.

7.(早稲田大)
\left(\dfrac{1}{125}\right)^{20}を小数で表したとき,小数第(  )位に初めて0でない数字が現れ,その値は(  )である.ただし,\log_{10}2=0.3010とする.

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