最高位の数

2017年8月9日

最高位の数の問題です。

1.(早稲田大)
\log_{10}2=0.3010とするとき
(1) 次の式を満たす整数kの値を求めよ.
10^4<2^k<2 \cdot 10^4
(2) 2004個の2の累乗,2^1,~2^2,~2^3,~\cdots,~2^{2004}のうち,10進法で表したとき,その最高位の数字が1であるものの個数を求めよ.

2.(早稲田大)
2^{555}は十進法で表すと168桁の数で,その最高位(先頭)の数字は1である.集合\{2^n~|~nは整数で1 \leqq n \leqq 555\}の中に,十進法で表したとき最高位の数字が4となるものは全部で何個あるか.

3.(上智大)
n=0,~1,~2,~\cdotsに対して2^nを十進法で表したときの最高位の整数を並べた数列を\{a_n\}_{n=0}^{\infty}とする.すなわち
\{a_0,~a_1,~a_2,~a_3,~\cdots\}=\{1,~2,~4,~8,~1,~3,~6,~1,~2,~5,~1,~2,~4,~8,~\cdots\}
である.次の問いに答えよ.ただし,\log_{10}2=0.3010,~\log_{10}3=0.4771, \log_{10}7=0.8451とし,また必要ならxを超えない最大の整数を表す記号[x]を用いよ.
(1) a_n=3となる最小の整数nは5であるが,次に小さい整数nは何か.
(2) 一般項a_nnを用いて表せ.
(3) n<100a_n=7となるnをすべて求めよ.

4.(京都大)
次の問いに答えよ.ただし,0.3010<\log_{10}2<0.3011であることは用いてよい.
(1) 100桁以下の自然数で,2以外の素因数をもたないものの個数を求めよ.
(2) 100桁の自然数で,2と5以外の素因数をもたないものの個数を求めよ.

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