最高位の数

2016年10月5日2017年8月9日

最高位の数の問題です。

１．(早稲田大)
$\log_{10}2=0.3010$ とするとき
(1) 次の式を満たす整数 $k$ の値を求めよ．
$10^4<2^k<2 \cdot 10^4$
(2) 2004個の2の累乗， $2^1,~2^2,~2^3,~\cdots,~2^{2004}$ のうち，10進法で表したとき，その最高位の数字が1であるものの個数を求めよ．

２．(早稲田大)
$2^{555}$ は十進法で表すと168桁の数で，その最高位(先頭)の数字は1である．集合 $\{2^n~|~n$ は整数で $1 \leqq n \leqq 555\}$ の中に，十進法で表したとき最高位の数字が4となるものは全部で何個あるか．

３．(上智大)
$n=0,~1,~2,~\cdots$ に対して $2^n$ を十進法で表したときの最高位の整数を並べた数列を $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ とする．すなわち
$\{a_0,~a_1,~a_2,~a_3,~\cdots\}=\{1,~2,~4,~8,~1,~3,~6,~1,~2,~5,~1,~2,~4,~8,~\cdots\}$
である．次の問いに答えよ．ただし， $\log_{10}2=0.3010,~\log_{10}3=0.4771, \log_{10}7=0.8451$ とし，また必要なら $x$ を超えない最大の整数を表す記号 $[x]$ を用いよ．
(1) $a_n=3$ となる最小の整数 $n$ は5であるが，次に小さい整数 $n$ は何か．
(2) 一般項 $a_n$ を $n$ を用いて表せ．
(3) $n<100$ で $a_n=7$ となる $n$ をすべて求めよ．