円の媒介変数表示2

2019年3月17日

\sin\theta,~\cos\thetaの媒介変数表示の問題です。

1.B ((1) 関西学院大 (2) 立教大)
(1) \tan\dfrac{\theta}{2}=3のとき,\sin\theta,~\cos\thetaの値を求めよ.
(2) \sin\theta=\dfrac{3}{5}~\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)のとき,\tan\dfrac{\theta}{2}の値を求めよ.

解答

2.B (小樽商科大)
(1) \tan\thetaが有理数ならば,\cos 2\thetaも有理数であることを示せ.
(2) \tan\thetaが有理数ならば,\sin 2\thetaも有理数であることを示せ.

解答

3.B (芝浦工業大)
f(x)=\dfrac{2-\sin x}{1+\cos x}t=\tan\dfrac{x}{2}を用いて表せば(  )であるから,f(x)の最小値は(  )である.

解答

4.B (中央大)
(1) t=\tan xとする.\cos 2x,~\sin 2xtの式で表せ.
(2) t=\tan x~\left(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{4}\right)とおき,三角関数を用いることによって,関数f(t)=\dfrac{-2t^2+2t+2}{t^2+1}~(0 \leqq t \leqq 1)の最大値,最小値と,そのときのtの値を求めよ.

解答

5.B (弘前大)
(1) t=\tan xとおくとき,\sin 2xtを用いて表せ.
(2) -180^{\circ}<x<180^{\circ}の範囲で,方程式
(\sqrt{3}+1)\cos^2\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\sin x-1=0
を解け.

解答

6.B (徳島大)
(1) \tan\dfrac{x}{2}=mとするとき,等式\sin x=\dfrac{2m}{1+m^2},~\cos x=\dfrac{1-m^2}{1+m^2}が成り立つことを示せ.
(2) -\pi<x<\dfrac{\pi}{2}のとき,不等式\sin x+\cos x \geqq \tan\dfrac{x}{2}が成り立つことを示せ.

解答

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