円の媒介変数表示２

2016年10月8日2019年3月17日

$\sin\theta,~\cos\theta$ の媒介変数表示の問題です。

１．B ((1) 関西学院大　(2) 立教大)
(1) $\tan\dfrac{\theta}{2}=3$ のとき， $\sin\theta,~\cos\theta$ の値を求めよ．
(2) $\sin\theta=\dfrac{3}{5}~\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)$ のとき， $\tan\dfrac{\theta}{2}$ の値を求めよ．

→解答

２．B (小樽商科大)
(1) $\tan\theta$ が有理数ならば， $\cos 2\theta$ も有理数であることを示せ．
(2) $\tan\theta$ が有理数ならば， $\sin 2\theta$ も有理数であることを示せ．

→解答

３．B (芝浦工業大)
$f(x)=\dfrac{2-\sin x}{1+\cos x}$ を $t=\tan\dfrac{x}{2}$ を用いて表せば(　　)であるから， $f(x)$ の最小値は(　　)である．

→解答

４．B (中央大)
(1) $t=\tan x$ とする． $\cos 2x,~\sin 2x$ を $t$ の式で表せ．
(2) $t=\tan x~\left(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{4}\right)$ とおき，三角関数を用いることによって，関数 $f(t)=\dfrac{-2t^2+2t+2}{t^2+1}~(0 \leqq t \leqq 1)$ の最大値，最小値と，そのときの $t$ の値を求めよ．

→解答

５．B (弘前大)
(1) $t=\tan x$ とおくとき， $\sin 2x$ を $t$ を用いて表せ．
(2) $-180^{\circ}<x<180^{\circ}$ の範囲で，方程式
$(\sqrt{3}+1)\cos^2\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\sin x-1=0$
を解け．

→解答

６．B (徳島大)
(1) $\tan\dfrac{x}{2}=m$ とするとき，等式 $\sin x=\dfrac{2m}{1+m^2},~\cos x=\dfrac{1-m^2}{1+m^2}$ が成り立つことを示せ．
(2) $-\pi<x<\dfrac{\pi}{2}$ のとき，不等式 $\sin x+\cos x \geqq \tan\dfrac{x}{2}$ が成り立つことを示せ．