等差数列

2017年3月31日

まずは等差数列の問題から。

1.(神戸大)
数列\{a_n\}は,初項aおよび公差dが整数であるような等差数列であり,8 \leqq a_2 \leqq 10,~14 \leqq a_4 \leqq 16,~19 \leqq a_5 \leqq 21を満たしているとする.このような数列\{a_n\}をすべて求めよ.

解答

2.(学習院大)
dを実数とし,a_1,~a_2,~a_3,~a_4,~a_5を,初項が-10,公差がdの等差数列とする.また,S=|a_1|+|a_2|+|a_3|+|a_4|+|a_5|とおく.
(1) a_5 \leqq 0となるようなdの範囲を求めよ.また,そのときのSの値の範囲を求めよ.
(2) a_4 \leqq 0 \leqq a_5となるようなdの範囲を求めよ.また,そのときのSの値の範囲を求めよ.
(3) S=24となる公差dをすべて求めよ.

解答

3.(茨城大)
数列\{a_n\}~(n=1,~2,~\cdots)に対し,
b_n=\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}~(n=1,~2,~\cdots)
とおくとき,
(1) \{a_n\}が等差数列ならば\{b_n\}も等差数列であることを示せ.
(2) \{b_n\}が等差数列ならば\{a_n\}も等差数列であることを示せ.
(3) \{b_n\}が等差数列で,{\displaystyle\sum_{k=1}^{10}}b_{2k-1}=20,~{\displaystyle\sum_{k=1}^{10}}b_{2k}=10を満たすとき,\{a_n\}の一般項a_nを求めよ.

解答

4.(京都大)
互いに異なるn個 (n \geqq 2)の実数の集合S=\{a_1,~a_2,~\cdots,~a_n\}が次の性質をもつという.
Sから相異なる要素a_i,~a_jをとればa_i-a_j,~a_j-a_iの少なくとも一方は必ずSに属する」
このとき,
(1) 次の2つのいずれか一方が成り立つことを示せ.
(ⅰ) a_i \geqq 0~(i=1,~2,~\cdots,~n)
(ⅱ) a_i \leqq 0~(i=1,~2,~\cdots,~n)
(2) a_1,~a_2,~\cdots,~a_nの順序を適当に変えれば等差数列になることを示せ.

解答

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