等差数列の和の最大値

2016年10月8日2017年3月31日

等差数列の和の最大(最小)値の問題です。

１．(岩手大)
ある等差数列の第 $n$ 項を $a_n$ とするとき，
$a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}=365,~a_{15}+a_{17}+a_{19}=-6$
が成立している．
(1) この数列の初項と公差を求めよ．
(2) この数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき， $S_n$ の最大値を求めよ．

→解答

２．(早稲田大)
数列 $a_1,~a_2,~\cdots,~a_n,~\cdots$ は，初項 $a$ ，公差 $d$ の等差数列であり， $a_3=12$ かつ $S_8>0,~S_9 \leqq 0$ を満たす．ただし， $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ である．
(1) 公差 $d$ がとる値の範囲を求めよ．
(2) $a_n~(n>3)$ がとる値の範囲を， $n$ を用いて表せ．
(3) $a_n>0,~a_{n+1} \leqq 0$ となる $n$ の値を求めよ．
(4) $S_n$ が最大となるときの $n$ の値をすべて求めよ．また，そのときの $S_n$ を $d$ の式で表せ．