連続する自然数の和

2016年10月8日2017年3月31日

連続する自然数の和の性質の問題です。

１．(横浜国立大)
自然数を2個以上の連続する自然数の和で表すことを考える．例えば42は $3+4+\cdots+9$ のように2個以上の連続する自然数の和で表せる．
(1) 2020を2個以上の連続する自然数の和で表す表し方をすべて求めよ．
(2) $a$ を0以上の整数とするとき， $2^a$ は2個以上の連続する自然数の和で表せないことを示せ．
(3) $a,~b$ を自然数とするとき， $2^a(2b+1)$ は2個以上の連続する自然数の和で表せることを示せ．

→解答

２．(神戸大)
1から $n$ までの自然数 $1,~2,~3,~\cdots,~n$ の和を $S$ とするとき，
(1) $n$ を4で割った余りが0または3ならば， $S$ が偶数であることを示せ．
(2) $S$ が偶数ならば， $n$ を4で割った余りが0または3であることを示せ．
(3) $S$ が4の倍数ならば， $n$ を8で割った余りが0または7であることを示せ．