等比数列

2018年8月19日

次に等比数列です。

1.(成城大)
(1) \dfrac{1}{2},~\dfrac{1}{3},~\dfrac{1}{5}が同じ等差数列の項として含まれることはあるか (ただし,これら3つは隣り合っていなくてもよい).もしあればそのような数列の例を挙げ,あり得ない場合にはそのことを証明せよ.
(2) 2, 3, 5が同じ等比数列の項として含まれることはあるか (ただし,これら3つは隣り合っていなくてもよい).もしあればそのような数列の例を挙げ,あり得ない場合にはそのことを証明せよ.

2.(お茶の水女子大)
自然数の数列\{a_n\}a_1=1,~2a_n \leqq a_{n+1} \leqq 3a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)を満たす.
(1) 第5項a_5のとりうる値の範囲を答えよ.
(2) 第ka_ka_k=9を満たすkの値と,そのときの初項から第k項までの候補をすべてあげよ.
(3) 第n項がa_n=100を満たすとき,nのとりうる値の範囲を求めよ.

3.(東北大)
数列\{\alpha_n\}を初項\dfrac{4}{5},公比2の等比数列,数列\{\beta_n\}を初項\dfrac{1}{5},公比-\dfrac{1}{2}の等比数列とする.
(1) n=1,~2,~3,~4,~5のとき,\alpha_nの小数部分を求めよ.
(2) a_n=\alpha_n+\beta_nの小数部分b_nを求めよ.
(3) 数列\{b_n\}の初項から第100項までの和の整数部分を求めよ.

4.(大阪大)
2つの数列\{a_n\},~\{b_n\}の一般項をそれぞれ
a_n=2^n,~b_n=3n+2~(n=1,~2,~3,~\cdots)
とする.\{a_n\}の項のうち,\{b_n\}の項であるものを小さいものから順に並べて得られる数列を\{c_n\}とする.
(1) \{c_n\}の初項から第5項までを書け.
(2) \{c_n\}は等比数列であることを示せ.

5.(上智大)
A=\{2^n~|~n=1,~2,~3,~\cdots\},~B=\{5^n~|~n=1,~2,~3,~\cdots\}とする.A \cap Bの要素のうち,小さい方から数えて100番目の要素をcとするとき,Aの要素でc以下のものは(  )個ある.また,\log_{10}cの整数部分は(  )である.ただし,\log_{10} 2の近似値0.301を用いてよい.

6.(弘前大)
等比数列2,~4,~8,~\cdotsと等比数列3,~9,~27,~\cdotsのすべての項を小さい順に並べてできる数列の第1000項は,2つの等比数列のどちらの第何項か.ただし,\log_6 2=0.386852\cdotsを使ってよい.

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