等比数列の和

等比数列の和の問題です。

1.(広島大)
(1) x,~yが4で割ると1余る自然数ならば,積xyも4で割ると1余ることを証明せよ.
(2) 0以上の偶数nに対して,3^nを4で割ると1余ることを証明せよ.
(3) 1以上の奇数nに対して,3^nを4で割った余りが1でないことを証明せよ.
(4) mを0以上の整数とする.3^{2m}の正の約数のうち4で割ると1余る数全体の和をmを用いて表せ.

2.(広島大)
4で割ると余りが1である自然数全体の集合をAとする.すなわち,A=\{4k+1~|~kは0以上の整数}とする.
(1) xおよびyAに属するならば,その積xyAに属することを証明せよ.
(2) 0以上の偶数mに対して,3^mAに属することを証明せよ.
(3) m,~nを0以上の整数とする.m+nが偶数ならば3^m7^nAに属し,m+nが奇数ならば3^m7^nAに属さないことを証明せよ.
(4) m,~nを0以上の整数とする.3^{2m+1}7^{2n+1}の正の約数のうちAに属する数全体の和をmnを用いて表せ.

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