等差×等比数列の和

2016年12月1日

等差×等比数列の和です。

1.(北海学園大)
公比が1より大きい等比数列\{a_n\}の,初項から第n項までの和をS_nとする.また,数列\{b_n\}は初項が3でb_{n+1}-b_n=a_nを満たす.a_2=18,~S_3=78であるとき,次の問いに答えよ.ただし,n=1,~2,~3,~\cdotsとする.
(1) 数列\{a_n\}の一般項を求めよ.
(2) {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}ka_kを求めよ.
(3) {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}k^2b_kを求めよ.

2.(同志社大)
数列\{a_n\},~\{b_n\}
a_n=n \cdot 3^{n-1},~b_n=n(n+1) \cdot 3^{n-1}~(n=1,~2,~\cdots)
で定める.S_n={\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}a_kとするとき
S_n-cS_n=1+3+3^2+\cdots+3^{n-1}-3a_n
を満たす定数cc=(~~~~~)である.S_nnを用いて表すとS_n=(~~~~~)となる.したがって,T_n={\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}b_kも同様に計算しnを用いて表すとT_n=(~~~~~)となる.ゆえに{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}k^2 \cdot 3^{k-1}=(~~~~~)となる.

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