等差×等比数列の和

2016年10月8日2016年12月1日

等差×等比数列の和です。

１．(北海学園大)
公比が1より大きい等比数列 $\{a_n\}$ の，初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする．また，数列 $\{b_n\}$ は初項が3で $b_{n+1}-b_n=a_n$ を満たす． $a_2=18,~S_3=78$ であるとき，次の問いに答えよ．ただし， $n=1,~2,~3,~\cdots$ とする．
(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．
(2) ${\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}ka_k$ を求めよ．
(3) ${\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}k^2b_k$ を求めよ．

２．(同志社大)
数列 $\{a_n\},~\{b_n\}$ を
$a_n=n \cdot 3^{n-1},~b_n=n(n+1) \cdot 3^{n-1}~(n=1,~2,~\cdots)$
で定める． $S_n={\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}a_k$ とするとき
$S_n-cS_n=1+3+3^2+\cdots+3^{n-1}-3a_n$
を満たす定数 $c$ は $c=(~~~~~)$ である． $S_n$ を $n$ を用いて表すと $S_n=(~~~~~)$ となる．したがって， $T_n={\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}b_k$ も同様に計算し $n$ を用いて表すと $T_n=(~~~~~)$ となる．ゆえに ${\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}k^2 \cdot 3^{k-1}=(~~~~~)$ となる．

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Posted by 山彦のフドウ

∑１

中項定理

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