∑1

2016年12月6日

∑の公式の確認です。

1.(信州大)
数列\{a_n\},~\{b_n\}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}a_k=n^2,~{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}b_k=2^nを満たすものとする.このとき,次の和を求めよ.
(1) {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}(a_k)^2
(2) {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}(b_k)^2
(3) {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}a_kb_k

2.(九州大)
以下の問いに答えよ.答えだけでなく,必ず証明も記せ.
(1) 和1+2+\cdots+nnの多項式で表せ.
(2) 和1^2+2^2+\cdots+n^2nの多項式で表せ.
(3) 和1^3+2^3+\cdots+n^3nの多項式で表せ.

3.(名古屋大)
0以上の整数kに対し,S_k(n)=1^k+2^k+\cdots+n^kとおく.
(1) 等式(n+1)^5=1+{\displaystyle\sum_{k=0}^{4}}{_5\mbox{C}_k}S_k(n)がすべての正の整数nについて成り立つことを示せ.
(2) nの5次多項式としてS_4(n)を求めよ.

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