連続する自然数の積の和

2017年12月20日

連続する自然数の積の和の問題です。

1.
(1) 整数nについて,f(n)=n(n+1)(n+2)とおく.kを自然数とするとき,等式f(k)-f(k-1)=ak(k+1)が成立するように,定数aの値を定めよ.
(2) mが自然数であるとき,{\displaystyle\sum_{k=1}^{m}}k(k+1)mの式で表せ.

2.(慶応大)
自然数k,~nに対してf_k(n)=n(n+1)(n+2)\cdots(n+k-1)とする.このとき
f_{k+1}(n)-f_{k+1}(n-1)=(~~~~~)f_k(n)~(n \geqq 2)
よって{\displaystyle\sum_{r=1}^{n}}f_k(r)=(~~~~~)f_{k+1}(n)
これより1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+\cdots+n(n+1)=(~~~~~)n(n+1)((~~~~~))
一般に,{\displaystyle\sum_{r=1}^{n}}r(r+1)(r+2)\cdots(r+k)=(~~~~~)\dfrac{(n+(~~~~~))!}{(n-1)!}となる.

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