分数式の和

2016年12月1日

分数式の和です。

1.(同志社大)
次の和を求めよ.
(1) \dfrac{1}{1 \cdot 3}+\dfrac{1}{3 \cdot 5}+\dfrac{1}{5 \cdot 7}+\cdots+\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}
(2) \dfrac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5}+\dfrac{1}{3 \cdot 5 \cdot 7}+\dfrac{1}{5 \cdot 7 \cdot 9}+\cdots+\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}
(3) \dfrac{2}{1 \cdot 3 \cdot 5}+\dfrac{4}{3 \cdot 5 \cdot 7}+\dfrac{6}{5 \cdot 7 \cdot 9}+\cdots+\dfrac{2n}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}

2.(早稲田大)
(1) 数列\{a_n\}~(n=1,~2,~3,~\cdots)は次の関係を満たしている.
{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\dfrac{(k+1)(k+2)}{3^{k-1}}a_k=-\dfrac{1}{4}(2n+1)(2n+3)
a_nnを用いて表せ.
(2) (ア) 次の和Sを求めよ.
S={\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}
(イ) (1)のa_nに対して,n \geqq 2のとき,和Q={\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}a_kを求めよ.

解答

3.(東北大)
初項7,公差2の等差数列の一般項をa_nとし,初項\dfrac{1}{3},公比\dfrac{1}{3}の等比数列の一般項をb_nとする.数列\{c_n\}について,
{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}a_kb_kc_k=\dfrac{1}{3}(n+1)(n+2)(n+3)~(n \geqq 1)
が成り立つとき,
(1) 一般項c_nを求めよ.
(2) 級数{\displaystyle\sum_{k=1}^{N}}\dfrac{1}{c_n}の和を求めよ.

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