数列の和

2016年12月1日

数列の和の問題です。面白そうなのをいくつか。

1.(一橋大)
(1) 2以上の自然数に対し
\dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\dfrac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots\cdots+\dfrac{1}{(n-1)\cdot n \cdot(n+1)}
を求めよ.
(2) 任意の正の整数nに対し
\dfrac{1}{1^3}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+\cdots\cdots+\dfrac{1}{n^3}<\dfrac{5}{4}
が成り立つことを示せ.

解答

2.(早稲田大)
(1) nが正の整数のとき
\sqrt{n+1}-\sqrt{n}<\dfrac{1}{2\sqrt{n}}<\sqrt{n}-\sqrt{n-1}
が成り立つことを示せ.
(2) n=10^4のとき
1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}
の整数部分を求めよ.例えば3.14159の整数部分は3であり,31.4159の整数部分は31である.

3.(広島大)
自然数のうち,2と8がどの桁にも現れないものを考え,それらを小さい方から順に並べた数列1,~3,~4,~5,~6,~7,~9,~10,~11,~13,~14,~15,~16,~17,~19,~30,~31,~33,~\cdots\{a_n\}とする.いま,自然数mに対し,数列\{a_n\}の中にあるm桁の整数の個数をf(m)とする.例えばf(1)=7である.
(1) f(2),~f(3)を求めよ.
(2) 自然数mに対し,f(m)を求めよ.
(3) 自然数mに対し,数列\{a_n\}の中にあるm桁の整数の逆数の総和は\dfrac{f(m)}{10^{m-1}}より小さいことを示せ.
(4) すべての自然数nに対し,{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\dfrac{1}{a_k}<35が成り立つことを示せ.

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