格子点1

2018年10月14日

格子点の問題です。まずは基本問題から。

1.(滋賀大)
座標平面上で,x座標とy座標がいずれも整数である点(x,y)を格子点という.
(1) x \geqq 0,~y \geqq 0,~x+y \leqq 20を同時に満たす格子点(x,y)の個数を求めよ.
(2) y \geqq 0,~y \leqq 2x,~x+2y \leqq 20を同時に満たす格子点(x,y)の個数を求めよ.

2.(大阪大)
条件1<x<2^{n+1}および0<y \leqq \log_2 xを満たす整数x,~yを座標とする点(x,y)の個数を求めよ.ただし,nは正の整数とする.

次は三次元格子点の問題です。

3.(横浜国立大)
(1) kを0以上の整数とするとき,\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2} \leqq kを満たす0以上の整数x,~yの組(x,y)の個数をa_kとする.a_kkの式で表せ.
(2) nを0以上の整数とするとき,\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}+z \leqq nを満たす0以上のx,~y,~zの組(x,y,z)の個数をb_nとする.b_nnの式で表せ.

解答

4.(名古屋大)
(1) 3x+2y \leqq 2008を満たす0以上の整数の組(x,y)の個数を求めよ.
(2) \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{6} \leqq 10を満たす0以上の整数の組(x,y,z)の個数を求めよ.

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