格子点１

2016年10月9日2018年10月14日

格子点の問題です。まずは基本問題から。

１．(滋賀大)
座標平面上で， $x$ 座標と $y$ 座標がいずれも整数である点 $(x,y)$ を格子点という．
(1) $x \geqq 0,~y \geqq 0,~x+y \leqq 20$ を同時に満たす格子点 $(x,y)$ の個数を求めよ．
(2) $y \geqq 0,~y \leqq 2x,~x+2y \leqq 20$ を同時に満たす格子点 $(x,y)$ の個数を求めよ．

２．(大阪大)
条件 $1<x<2^{n+1}$ および $0<y \leqq \log_2 x$ を満たす整数 $x,~y$ を座標とする点 $(x,y)$ の個数を求めよ．ただし， $n$ は正の整数とする．

次は三次元格子点の問題です。

３．(横浜国立大)
(1) $k$ を0以上の整数とするとき， $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2} \leqq k$ を満たす0以上の整数 $x,~y$ の組 $(x,y)$ の個数を $a_k$ とする． $a_k$ を $k$ の式で表せ．
(2) $n$ を0以上の整数とするとき， $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}+z \leqq n$ を満たす0以上の $x,~y,~z$ の組 $(x,y,z)$ の個数を $b_n$ とする． $b_n$ を $n$ の式で表せ．