群数列

2016年12月1日

群数列です。

1.(慶応大)
\{a_n\}は,数字の1と2だけで作ることのできる自然数を小さい順に並べた数列である.
\{a_n\}:1,~2,~11,~12,~21,~22,~111,~\cdots
このとき,
(1) a_{10},~a_{15}を求めよ.
(2) {\displaystyle\sum_{k=7}^{14}}a_kを求めよ.
(3) \{a_n\}のうち,m桁である項の総和を求めよ.

2.(群馬大)
2つの数a,~bを用いてできる数列
a,~b,~2a,~a+b,~2b,~3a,~2a+b,~a+2b,~3b,~4a,~3a+b,~2a+2b,~a+3b,~4b,~\cdots
\{c_n\}とする.
(1) c_{50}a,~bを用いて表せ.
(2) {\displaystyle\sum_{n=1}^{50}}c_nの値をa,~bを用いて表せ.
(3) a=2,~b=5とする.上の数列\{c_n\}から,前に出てきた項より小さい項をすべて取り除いてできる新しい数列を\{d_n\}とするとき,\{d_n\}の初項から第2n項までの和を求めよ.

3.(岐阜大)
二項係数を次のように順番に並べて,数列\{a_n\}を定める.
_0\mbox{C}_0,~_1\mbox{C}_0,~_1\mbox{C}_1,~_2\mbox{C}_0,~_2\mbox{C}_1,~_2\mbox{C}_2,~_3\mbox{C}_0,~\cdots
ただし,_0\mbox{C}_0=1とする.
(1) a_{18}の値を求めよ.
(2) _n\mbox{C}_kは第何項になるか.
(3) {\displaystyle\sum_{n=1}^{50}}a_nの値を求めよ.

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