数学的帰納法１

2016年10月9日2018年8月19日

数学的帰納法です。まずは、1段階仮定帰納法から。

１．(早稲田大)
(1) $k,~n$ を正の整数とし，
$S_k=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots+(-1)^{k-1}\dfrac{1}{k}$
$T_k=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{n+(n-1)}$
とする．このとき，等式 $S_k=T_n$ が成立する $k$ を $n$ で表せ．またその等式を $n$ に関する数学的帰納法によって証明せよ．
(2) $n$ を正の整数とするとき， $S_n$ の最大値と最小値を求めよ．また，その理由を示せ．

ド・モアブルの定理です。負の場合も示さなければなりません。

２．(慶応大)
$n$ を(正，0，負の)整数， $i$ を虚数単位として
$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$
が成り立つことを証明せよ．

次は、不等式の場合。４はイエンゼンの不等式というグラフの凸性に関わる不等式です。

３．(兵庫県立大)
数列 $a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ の各項 $a_n$ は自然数であり，また， $m<n$ ならば $a_m<a_n$ がすべての自然数 $m,~n$ に対して成り立つとする．このとき， $n \leqq a_n$ がすべての自然数 $n$ について成り立つことを示せ．

４．(青山学院大)
実数 $a>0$ に対して $f(a)=\dfrac{1}{a}$ と表すとき，
(1) $0<a<b$ のとき，次の不等式を証明せよ．
$\dfrac{f(a)+f(b)}{2}>f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)$
(2) $0<a<b,~0<w<1$ のとき，次の不等式を証明せよ．
$wf(a)+(1-w)f(b)>f(wa+(1-w)b)$
(3) $0<a_1<a_2<\cdots<a_n$ のとき， $n \geqq 2$ に対して次の不等式が成り立つ．
$\dfrac{1}{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}f(a_i)>f\left(\dfrac{1}{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}a_i\right)$
このことを数学的帰納法で証明せよ．

→解答

５．((1) 東京工業大　(2) 一橋大)
(1) 整数 $a_n=19^n+(-1)^{n-1}2^{4n-3}~(n=1,~2,~3,~\cdots\cdots)$ のすべてを割り切る素数を求めよ．
(2) すべての正の整数 $n$ に対して， $5^n+an+b$ が16の倍数となるような16以下の正の整数 $a,~b$ を求めよ．