数学的帰納法1

2018年8月19日

数学的帰納法です。まずは、1段階仮定帰納法から。

1.(早稲田大)
(1) k,~nを正の整数とし,
S_k=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots+(-1)^{k-1}\dfrac{1}{k}
T_k=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{n+(n-1)}
とする.このとき,等式S_k=T_nが成立するknで表せ.またその等式をnに関する数学的帰納法によって証明せよ.
(2) nを正の整数とするとき,S_nの最大値と最小値を求めよ.また,その理由を示せ.

ド・モアブルの定理です。負の場合も示さなければなりません。

2.(慶応大)
nを(正,0,負の)整数,iを虚数単位として
(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta
が成り立つことを証明せよ.

次は、不等式の場合。4はイエンゼンの不等式というグラフの凸性に関わる不等式です。

3.(兵庫県立大)
数列a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)の各項a_nは自然数であり,また,m<nならばa_m<a_nがすべての自然数m,~nに対して成り立つとする.このとき,n \leqq a_nがすべての自然数nについて成り立つことを示せ.

4.(青山学院大)
実数a>0に対してf(a)=\dfrac{1}{a}と表すとき,
(1) 0<a<bのとき,次の不等式を証明せよ.
\dfrac{f(a)+f(b)}{2}>f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)
(2) 0<a<b,~0<w<1のとき,次の不等式を証明せよ.
wf(a)+(1-w)f(b)>f(wa+(1-w)b)
(3) 0<a_1<a_2<\cdots<a_nのとき,n \geqq 2に対して次の不等式が成り立つ.
\dfrac{1}{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}f(a_i)>f\left(\dfrac{1}{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}a_i\right)
このことを数学的帰納法で証明せよ.

解答

5.((1) 東京工業大 (2) 一橋大)
(1) 整数a_n=19^n+(-1)^{n-1}2^{4n-3}~(n=1,~2,~3,~\cdots\cdots)のすべてを割り切る素数を求めよ.
(2) すべての正の整数nに対して,5^n+an+bが16の倍数となるような16以下の正の整数a,~bを求めよ.

解答

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