数学的帰納法2

2017年8月9日

次は、2段階仮定帰納法。

1.(東京大)
a,~bは実数でa^2+b^2=16,~a^3+b^3=44を満たしている.
(1) a+bの値を求めよ.
(2) nを2以上の整数とするとき,a^n+b^nは4で割り切れる整数であることを示せ.

解答

2.(岐阜大)
pを2以上の整数とし,a=p+\sqrt{p^2-1},~b=p-\sqrt{p^2-1}とする.
(1) a^2+b^2a^3+b^3がともに偶数であることを示せ.
(2) nを2以上の整数とする.a^n+b^nが偶数であることを示せ.
(3) 正の整数nについて,[a^n]が奇数であることを示せ.ただし,実数xに対して,[x]m \leqq x<m+1を満たす整数mを表す.

次は、対称式の基本定理。

3.(上智大)
f(x,y)を2変数x,~yに関する実数を係数にもつ多項式とする.
s=x+y,~t=xy,~u=x-y,~v=x^2とおく.このとき,
(1) (ⅰ) f(x,y)=x^2+xy+y^2のときf(x,y)suを用いて表せ.
(ⅱ) 一般にf(x,y)suの多項式で表されることを示せ.
(ⅲ) 恒等的にf(x,y)=f(-x,y)が成り立つならばf(x,y)vyとの多項式であることを示せ.
(ⅳ) 恒等的にf(x,y)=f(y,x)が成り立つならばf(x,y)stとの多項式であることを示せ.
(2) (ⅰ) 恒等的にf(x,y)=f(x+y,x-y)が成り立つならばf(x,y)=f(2x,2y)が成り立つことを示せ.
(ⅱ) 上の性質をもつ多項式はどのようなものか.

4.(千葉大)
bcb^2+4c>0を満たす実数として,xに関する2次方程式x^2-bx-c=0の相異なる解を\alpha,~\betaとする.数列\{a_n\}a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}~(n=1,~2,~3,~\cdots)により定める.
(1) 数列\{a_n\}は漸化式a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)を満たすことを示せ.
(2) 数列\{a_n\}の項a_nがすべて整数であるための必要十分条件は,b,~cがともに整数であることである.これを証明せよ.

解答

5.(東京大)
p=2+\sqrt{5}とおき,自然数n=1,~2,~3,~\cdotsに対してa_n=p^n+\left(-\dfrac{1}{p}\right)^nと定める.
(1) a_1,~a_2の値を求めよ.
(2) n \geqq 2とする.積a_1a_nを,a_{n+1}a_{n-1}を用いて表せ.
(3) a_nは自然数であることを示せ.
(4) a_{n+1}a_nの最大公約数を求めよ.

チェビシェフ多項式について。

6.(埼玉大)
多項式f_1(x),~f_2(x),~\cdotsおよびg_1(x),~g_2(x),~\cdotsを次の手順(a), (b)で定める
(a) f_1(x)=x,~g_1(x)=1
(b) f_n(x),~g_n(x)が定まったとき,
\left\{\begin{array}{l} f_{n+1}(x)=xf_n(x)+(x^2-1)g_n(x)\\ g_{n+1}(x)=f_n(x)+xg_n(x) \end{array}\right.
によってf_{n+1}(x),~g_{n+1}(x)を定める.
このとき,
(1) f_2(x),~g_2(x)およびf_3(x),~g_3(x)を求めよ.
(2) 自然数nに対して,等式\{f_n(x)\}^2-(x^2-1)\{g_n(x)\}^2=1が成立することを証明せよ.
(3) 自然数nに対して,次の等式を証明せよ.
\left\{\begin{array}{l} f_n(\cos\theta)=\cos n\theta\\ g_n(\cos\theta)\sin\theta=\sin n\theta \end{array}\right.

7.(九州大)
(1) nを正の整数とする.どんな角度\thetaに対しても
\cos n\theta=2\cos\theta\cos(n-1)\theta-\cos(n-2)\theta
が成り立つことを示せ.また,あるn次式p_n(x)を用いて\cos n\theta
\cos n\theta=p_n(\cos\theta)
と表されることを示せ.
(2) p_n(x)nが偶数ならば偶関数,奇数ならば奇関数になることを示せ.
(3) 整式p_n(x)の定数項を求めよ.また,p_n(x)の1次の項の係数を求めよ.

解答

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