数学的帰納法３

2016年10月9日2017年1月24日

次に、全段階仮定帰納法。

１．(京都大)
数列 $\{a_n\}$ は，すべての正の整数 $n$ に対して $0 \leqq 3a_n \leqq {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}a_k$ を満たしているとする．このとき，すべての $n$ に対して $a_n=0$ であることを示せ．

→解答

２．(学習院大)
数列 $\{a_n\}$ が $a_1=2,~a_n<2n^2+\dfrac{1}{n}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}}a_j~(n=2,~3,~4,~\cdots)$ をみたすとき，すべての正の整数 $n$ に対して， $a_n<3n^2$ を証明せよ．

３．(横浜国立大)
数列 $\{a_n\}$ が
$\left\{\begin{array}{l} (a_1+a_2+\cdots+a_n)^2=a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3~(n=1,~2,~3,~\cdots)\\ a_{3m-2}>0,~a_{3m-1}>0,~a_{3m}<0~(m=1,~2,~3,~\cdots) \end{array}\right.$
を満たすとき，
(1) $a_1,~a_2,~\cdots,~a_6$ を求めよ．
(2) $a_{3m-2},~a_{3m-1},~a_{3m}~(m=1,~2,~3,~\cdots)$ を $m$ の式で表せ．

４．(東京大)
数列 $\{a_n\}$ において， $a_1=1$ であり， $n \geqq 2$ に対して $a_n$ は，次の条件 $[1],~[2]$ を満たす自然数のうち最小のものであるという．
$[1]$ $a_n$ は $a_1,~\cdots,~a_{n-1}$ のどの項とも異なる．
$[2]$ $a_1,~\cdots,~a_{n-1}$ のうちから重複なくどのように項を取り出しても，それらの和が $a_n$ に等しくなることはない．
このとき， $a_n$ を $n$ で表し，その理由を述べよ．

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Posted by 山彦のフドウ

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