数学的帰納法3

2017年1月24日

次に、全段階仮定帰納法。

1.(京都大)
数列\{a_n\}は,すべての正の整数nに対して0 \leqq 3a_n \leqq {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}a_kを満たしているとする.このとき,すべてのnに対してa_n=0であることを示せ.

解答

2.(学習院大)
数列\{a_n\}a_1=2,~a_n<2n^2+\dfrac{1}{n}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}}a_j~(n=2,~3,~4,~\cdots)をみたすとき,すべての正の整数nに対して,a_n<3n^2を証明せよ.

3.(横浜国立大)
数列\{a_n\}
\left\{\begin{array}{l} (a_1+a_2+\cdots+a_n)^2=a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3~(n=1,~2,~3,~\cdots)\\ a_{3m-2}>0,~a_{3m-1}>0,~a_{3m}<0~(m=1,~2,~3,~\cdots) \end{array}\right.
を満たすとき,
(1) a_1,~a_2,~\cdots,~a_6を求めよ.
(2) a_{3m-2},~a_{3m-1},~a_{3m}~(m=1,~2,~3,~\cdots)mの式で表せ.

4.(東京大)
数列\{a_n\}において,a_1=1であり,n \geqq 2に対してa_nは,次の条件[1],~[2]を満たす自然数のうち最小のものであるという.
[1] a_na_1,~\cdots,~a_{n-1}のどの項とも異なる.
[2] a_1,~\cdots,~a_{n-1}のうちから重複なくどのように項を取り出しても,それらの和がa_nに等しくなることはない.
このとき,a_nnで表し,その理由を述べよ.

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