数学的帰納法4

2017年1月24日

最後に後進的帰納法です。まずは、一般的な相加相乗平均の不等式を示しましょう。

1.(横浜国立大)
n個の任意の正の数a_1,~a_2,~\cdots,~a_nについて
\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\leqq \dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}
が成り立つ」という命題をP(n)とする.
(1) P(2) が正しいことを証明せよ.
(2) P(k)が正しいとき,P(2k)も正しいことを証明せよ.
(3) P(k+1)が正しいとき,P(k)も正しいことを証明せよ.

解答

次は、イエンゼンの不等式。

2.(芝浦工業大)
関数fは,実数x,~yに対してf\left(\dfrac{x+y}{2}\right) \leqq \dfrac{1}{2}\{f(x)+f(y)\}を満たすとする.この関数がn個の実数x_1,~x_2,~\cdots,~x_nに対し,
f\left(\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right) \leqq \dfrac{1}{n}\{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)\}\cdots①を満たすこと証明したい.
(1) n=4のとき,不等式①が成り立つことを示せ.
(2) n=2^m~(m=1,~2,~3,~\cdots)のとき,不等式①が成り立つことを示せ.
(3) n=k \geqq 2のとき不等式①が成り立つと仮定し,n=k-1のとき不等式①が成り立つことを示せ.

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