絶対値

2019年2月28日

複素数の絶対値の定義と計算規則の確認です。

1.((2) 工学院大 (3) 茨城大)
(1) z^2+z+3=0のとき,|z|=(~~~~~)
(2) 複素数\alpha,~\beta,~\gamma\alpha+\beta+\gamma=0,~|\alpha|=|\beta|=|\gamma|=1を満たすとき,|\alpha-\beta|^2+|\alpha-\gamma|^2の値を求めよ.
(3) 複素数\alpha,~\beta|\alpha|=2,~|\beta|=3,~|\alpha+\beta|=4を満たすとき,\overline{\alpha}\beta+\alpha\overline{\beta},~|\alpha-\beta|の値を求めよ.

解答

2.(奈良県立医大)
(1) 絶対値が1である複素数\alpha,~\beta,~\gammaについて,
|\alpha-\beta|^2+|\beta-\gamma|^2+|\gamma-\alpha|^2+\dfrac{(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)}{\alpha\beta\gamma}=8が成り立つことを示せ.
(2) 三角形ABCの外接円の直径dに対して\mbox{AB}^2+\mbox{BC}^2+\mbox{CA}^2=2d^2が成り立つとき,この三角形は直角三角形であることを示せ.

解答

最後に三角不等式の問題です。

3.(三重大)
(1) 複素数z_1,~z_2に対し|z_1+z_2| \leqq |z_1|+|z_2|が成り立つことを証明せよ.さらに等号が成立するのはz_1z_2がどのような場合かを述べよ.
(2) 複素数z_1,~z_2に対し|z_1z_2|=|z_1||z_2|が成り立つことを証明せよ.
(3) |z|<1を満たす複素数zに対しz^4+9z^3+9z^2+7z+26 \ne 0を証明せよ.

解答

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