実数・純虚数条件

2019年4月8日

実数条件、純虚数条件の問題です。

1.
(1) 複素数zz=x+yi (x,~yは実数)とするとき,x,~yz,~\overline{z}で表せ.
(2) 複素数zが実数であるための必要十分条件は\overline{z}=zであることを示せ.
(3) 複素数zが純虚数であるための必要十分条件は\overline{z}=-z,~z \ne 0であることを示せ.

解答

2.(大阪歯科大)
複素数z=a+bi~(a,~bは実数,~z \ne ±i)においてw=\dfrac{z}{1+z^2}とする.
(1) wが実数であるための条件を求めよ.
(2) wが純虚数であるための条件を求めよ.

解答

3.((4) 学習院大)
(1) \alpha,~\betaを複素数とするとき,\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\betaはつねに実数であることを示せ.
(2) |z|=1ならば\alpha=z+\dfrac{1}{z}は実数であることを示せ.
(3) |\alpha|=|\beta|=|\gamma|=1のとき,\dfrac{(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)(\alpha+\beta)}{\alpha\beta\gamma}は実数になることを示せ.
(4) \alpha,~\betaを実数でない2つの複素数とするとき,\alpha+\beta,~\alpha\betaがともに実数ならば\beta=\overline{\alpha}であることを証明せよ.

解答

4.(鹿児島大)
\alpha,~\beta,~\gammaはいずれも0でない複素数とする.ただし,複素数zに対して,\overline{z}zの共役複素数,|z|zの絶対値を表す.
(1) \dfrac{\alpha}{\beta}が正の実数ならば,|\alpha+\beta|=|\alpha|+|\beta|が成り立つことを示せ.
(2) \gamma+\overline{\gamma}=2|\gamma|が成り立つならば,\gammaは正の実数であることを示せ.
(3) |\alpha+\beta|=|\alpha|+|\beta|が成り立つならば,\dfrac{\alpha}{\beta}は正の実数であることを示せ.

解答

5.((1) 法政大 (2) 高知大 (3) 東北学院大)
(1) 複素数\alpha,~\betaについて,|\alpha|=|\beta|=1,~\alpha+\beta+1=0を満たすとき,\alpha^2+\beta^2+1=0が成り立つことを証明せよ.
(2) \alpha+\beta=\alpha\beta,~|\alpha|=|\beta|=1を満たす複素数\alpha,~\betaの組をすべて求めよ.
(3) 複素数\alpha,~\beta|\alpha|=|\beta|=|\alpha-\beta|=2を満たしているとき,|\alpha+\beta|,~\dfrac{\alpha^3}{\beta^3},~|\alpha^2+\beta^2|の値を求めよ.

解答

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