実数・純虚数条件

2016年10月10日2019年4月8日

実数条件、純虚数条件の問題です。

１．
(1) 複素数 $z$ を $z=x+yi$ ( $x,~y$ は実数)とするとき， $x,~y$ を $z,~\overline{z}$ で表せ．
(2) 複素数 $z$ が実数であるための必要十分条件は $\overline{z}=z$ であることを示せ．
(3) 複素数 $z$ が純虚数であるための必要十分条件は $\overline{z}=-z,~z \ne 0$ であることを示せ．

→解答

２．(大阪歯科大)
複素数 $z=a+bi~(a,~bは実数,~z \ne ±i)$ において $w=\dfrac{z}{1+z^2}$ とする．
(1) $w$ が実数であるための条件を求めよ．
(2) $w$ が純虚数であるための条件を求めよ．

→解答

３．((4) 学習院大)
(1) $\alpha,~\beta$ を複素数とするとき， $\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta$ はつねに実数であることを示せ．
(2) $|z|=1$ ならば $\alpha=z+\dfrac{1}{z}$ は実数であることを示せ．
(3) $|\alpha|=|\beta|=|\gamma|=1$ のとき， $\dfrac{(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)(\alpha+\beta)}{\alpha\beta\gamma}$ は実数になることを示せ．
(4) $\alpha,~\beta$ を実数でない2つの複素数とするとき， $\alpha+\beta,~\alpha\beta$ がともに実数ならば $\beta=\overline{\alpha}$ であることを証明せよ．

→解答

４．(鹿児島大)
$\alpha,~\beta,~\gamma$ はいずれも0でない複素数とする．ただし，複素数 $z$ に対して， $\overline{z}$ は $z$ の共役複素数， $|z|$ は $z$ の絶対値を表す．
(1) $\dfrac{\alpha}{\beta}$ が正の実数ならば， $|\alpha+\beta|=|\alpha|+|\beta|$ が成り立つことを示せ．
(2) $\gamma+\overline{\gamma}=2|\gamma|$ が成り立つならば， $\gamma$ は正の実数であることを示せ．
(3) $|\alpha+\beta|=|\alpha|+|\beta|$ が成り立つならば， $\dfrac{\alpha}{\beta}$ は正の実数であることを示せ．

→解答

５．((1) 法政大　(2) 高知大　(3) 東北学院大)
(1) 複素数 $\alpha,~\beta$ について， $|\alpha|=|\beta|=1,~\alpha+\beta+1=0$ を満たすとき， $\alpha^2+\beta^2+1=0$ が成り立つことを証明せよ．
(2) $\alpha+\beta=\alpha\beta,~|\alpha|=|\beta|=1$ を満たす複素数 $\alpha,~\beta$ の組をすべて求めよ．
(3) 複素数 $\alpha,~\beta$ が $|\alpha|=|\beta|=|\alpha-\beta|=2$ を満たしているとき， $|\alpha+\beta|,~\dfrac{\alpha^3}{\beta^3},~|\alpha^2+\beta^2|$ の値を求めよ．