複素数と集合

2019年4月8日

複素数と集合の問題です。大学で学ぶ巡回群というものにつながります。

1.(北見工業大)
相異なる3つの0以外の複素数\alpha,~\beta,~\gammaがあり,そのうちどの2個の積も (同じ数どうしの積も含めて)もとの3つの複素数のうちのどれかであるという.この3つの複素数を決定するため,以下の問いに答えよ.
(1) S=\{\alpha,~\alpha^2,~\alpha^3,~\alpha^4\}とおくと,集合Sの要素の個数は3個以下であることを証明せよ.
(2) (1)の結果を用いて,\alpha^2=1または\alpha^3=1であることを証明せよ.
(3) z^3=1を満たす複素数zをすべて求め,複素数平面上に図示せよ.
(4) 集合\{\alpha,~\beta,~\gamma\}を決定せよ.

解答

2.(上智大)
相異なる3つの複素数a,~b,~cに対し,集合として\{a,~b,~c\}=\{a^2,~b^2,~c^2\}が成り立つとする.
(1) a,~b,~cの中で自分自身の平方と等しいものがあるとき,集合\{a,~b,~c\}をすべて求めよ.ただしiは虚数単位である.
(2) a,~b,~cがどれも自分自身の平方と等しくないとき,a,~b,~cは方程式
t^n+(~~~~~)=0 0<n=(~~~~~)<10
の解で,集合として\{a,~b,~c\}は(  )通りの可能性がある.どの場合においてもa+b+cの実部は(  )である.

解答

3.(名古屋大)
nを自然数とする.0でない複素数からなる集合Mが次の条件(Ⅰ), (Ⅱ), (Ⅲ)を満たしている.
(Ⅰ) 集合Mn個の要素からなる.
(Ⅱ) 集合Mの要素zに対して,\dfrac{1}{z}-zはともに集合Mの要素である.
(Ⅲ) 集合Mの要素z,~wに対して,その積zwは集合Mの要素である.ただし,z=wの場合も含める.
(1) 1および-1は集合Mの要素であることを示せ.
(2) nは偶数であることを示せ.
(3) n=4のとき,集合Mは一通りに定まることを示し,その要素をすべて求めよ.
(4) n=6のとき,集合Mは一通りに定まることを示し,その要素をすべて求めよ.

解答

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