複素数と集合

2016年10月10日2019年4月8日

複素数と集合の問題です。大学で学ぶ巡回群というものにつながります。

１．(北見工業大)
相異なる3つの0以外の複素数 $\alpha,~\beta,~\gamma$ があり，そのうちどの2個の積も (同じ数どうしの積も含めて)もとの3つの複素数のうちのどれかであるという．この3つの複素数を決定するため，以下の問いに答えよ．
(1) $S=\{\alpha,~\alpha^2,~\alpha^3,~\alpha^4\}$ とおくと，集合 $S$ の要素の個数は3個以下であることを証明せよ．
(2) (1)の結果を用いて， $\alpha^2=1$ または $\alpha^3=1$ であることを証明せよ．
(3) $z^3=1$ を満たす複素数 $z$ をすべて求め，複素数平面上に図示せよ．
(4) 集合 $\{\alpha,~\beta,~\gamma\}$ を決定せよ．

→解答

２．(上智大)
相異なる3つの複素数 $a,~b,~c$ に対し，集合として $\{a,~b,~c\}=\{a^2,~b^2,~c^2\}$ が成り立つとする．
(1) $a,~b,~c$ の中で自分自身の平方と等しいものがあるとき，集合 $\{a,~b,~c\}$ をすべて求めよ．ただし $i$ は虚数単位である．
(2) $a,~b,~c$ がどれも自分自身の平方と等しくないとき， $a,~b,~c$ は方程式
$t^n+(~~~~~)=0$ $0<n=(~~~~~)<10$
の解で，集合として $\{a,~b,~c\}$ は(　　)通りの可能性がある．どの場合においても $a+b+c$ の実部は(　　)である．

→解答

３．(名古屋大)
$n$ を自然数とする．0でない複素数からなる集合 $M$ が次の条件(Ⅰ), (Ⅱ), (Ⅲ)を満たしている．
(Ⅰ) 集合 $M$ は $n$ 個の要素からなる．
(Ⅱ) 集合 $M$ の要素 $z$ に対して， $\dfrac{1}{z}$ と $-z$ はともに集合 $M$ の要素である．
(Ⅲ) 集合 $M$ の要素 $z,~w$ に対して，その積 $zw$ は集合 $M$ の要素である．ただし， $z=w$ の場合も含める．
(1) 1および $-1$ は集合 $M$ の要素であることを示せ．
(2) $n$ は偶数であることを示せ．
(3) $n=4$ のとき，集合 $M$ は一通りに定まることを示し，その要素をすべて求めよ．
(4) $n=6$ のとき，集合 $M$ は一通りに定まることを示し，その要素をすべて求めよ．