回転移動2

2019年4月8日

次は、原点以外の点を回転の中心とする回転です。

1.((2) 日本大 (3) 佐賀大)
(1) 点6+2iを点2-4iを中心に135°回転した点の表す複素数を求めよ.
(2) 点\beta=a+biを点\alpha=1+6iのまわりに正の向きに60°回転した点\gamma\gamma=2+\sqrt{3}+(5+\sqrt{3})iとなるとき,a,~bの値を求めよ.
(3) 点A(2,1)を点Pの周りに60°回転した点の座標は\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2},-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)であった.点Pの座標を求めよ.

解答

2.(岩手大)
複素数平面上で,点P(1-\sqrt{3}i)を中心とする円に内接する正三角形がある.この正三角形の頂点の1つが点A(2)であるとき,残りの2つの頂点を表す複素数を求めよ.ただし,iは虚数単位とする.

解答

3.(お茶の水女子大)
4つの複素数z_1,~z_2,~z_3,~z_4は互いに異なり,その絶対値はすべて1であるとする.
(1) z_1,~z_2,~z_3を頂点とする複素数平面上の三角形が正三角形のとき,z_1+z_2+z_3=0となることを示せ.
(2) z_1+z_2+z_3=0が成り立つとき,z_1,~z_2,~z_3を頂点とする複素数平面上の三角形は正三角形であることを示せ.
(3) z_1+z_2+z_3+z_4=0が成り立つとき,z_1,~z_2,~z_3,~z_4を頂点とする複素数平面上の四角形は長方形であることを示せ.

解答

4.(名城大)
複素数z=a+bi (a,~bは実数)とし,p=2+3iとする.複素数平面上で,点zを原点を中心に\dfrac{\pi}{6}だけ回転した点を表す複素数をu,点zを点pを中心に\dfrac{\pi}{3}だけ回転した点を表す複素数をwとするとき,
(1) ua,~bを用いて表せ.
(2) wa,~bを用いて表せ.
(3) u=wとなるとき,a,~bの値を求めよ.

解答

5.(京都教育大)
複素数平面上に三角形ABCがあり,辺BC, CA, ABを1辺とする正三角形BDC, CEA, AFBをその外側に作る.点A, B, C, D, E, Fに対応する複素数をそれぞれa,~b,~c,~d,~e,~fとする.
(1) dbcを用いて表せ.
(2) d+e+fa,~b,~cを用いて表せ.
(3) 三角形DEFの重心と三角形ABCの重心とが一致することを示せ.

解答

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