平行条件・直交条件2

2019年4月8日

共線条件と垂直条件の問題の続きです。今度は原点を含まない場合。

1.
相異なる3点A(\alpha), B(\beta), C(\gamma)について,次の命題を示せ.
(1) \mbox{A,~B,~C}が同一直線上にある\Leftrightarrow \dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}が実数である
(2) \mbox{AB} \bot \mbox{AC} \Leftrightarrow \dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}が純虚数である

解答

2.
cを実数の定数とする.\alpha=c+i,~\beta=1,~\gamma=3iを表す点を,それぞれA, B, Cとするとき,
(1) 3点A, B, Cが一直線上にあるように,cの値を定めよ.
(2) 点Aが線分BCを直径とする円上にあるように,cの値を定めよ.

解答

3.(首都大)
複素数平面上の原点Oと2点A(2-4\sqrt{3}i), B(3+\sqrt{3}i)を考える.ただし,iを虚数単位とする.三角形OABの外側に,3辺AB, BO, OAをそれぞれ1辺とする正三角形ALB, BMO, ONAを作る.
(1) 点L, M, Nを表す複素数をそれぞれ求めよ.
(2) 直線OLと直線AMの交点をPとする.点Pを表す複素数を求めよ.
(3) 3点B, P, Nが一直線上にあることを示せ.

解答

4.
\bigtriangleupABCの辺AB, ACを1辺とする正方形ABDE, ACGFをその外側に作り,中心をそれぞれP, Rとし,線分BC, EFの中点をそれぞれQ, Sとする.四辺形PQRSは正方形であることを証明せよ.

解答

次は平行条件と直交条件についてです。

5.
4点P(z_1), Q(z_2), R(z_3), S(z_4)において,次のことを示せ.
(1) 2直線PQ, RSが平行であるための必要十分条件は\dfrac{z_4-z_3}{z_2-z_1}が実数となることである.
(2) 2直線PQ, RSが垂直に交わるための必要十分条件は\dfrac{z_4-z_3}{z_2-z_1}が純虚数となることである.

解答

6.(名古屋市立大)
Oを複素数平面上の原点とする.3点O, A, Bが三角形をなすとき,\bigtriangleupOABの頂点A, Bよりその対辺OBおよびOAに下ろしてできる2つの垂線の交点をPとする.このとき,OPとABが垂直であることを示せ.ただし,\bigtriangleupOABは直角三角形ではないとする.

解答

7.(広島大)
複素数平面上の原点O(0)を中心とする半径が1の円周上に相異なる3点A(a), B(b), C(c)をとる.\bigtriangleupABCの外接円上に任意の点P(z)をとり,直線ABに関してPに対称な点をQ(\beta),直線ACに関してPに対称な点をR(\gamma)とする.
(1) \betaa,~b,~zを用いて表せ.
(2) \bigtriangleupABCの垂心をH(w)とするとき,wa,~b,~cを用いて表せ.
(3) 3点H, Q, Rは一直線上にあることを示せ.

解答

8.(九州大)
複素数平面上の原点を中心とする半径1の円C上の相異なる3点z_1,~z_2,~z_3をとる.
(1) w_1=z_1+z_2+z_3とおく.点w_1は3点z_1,~z_2,~z_3を頂点とする三角形の垂心になることを示せ.ここで三角形の垂心とは,各頂点から対辺またはその延長線上に下ろした3本の垂線の交点のことであり,これら3本の垂線は1点で交わることが知られている.
(2) w_2=-\overline{z_1}z_2z_3とおく.w_2 \ne z_1のとき,2点z_2,~z_3を通る直線上に点z_1から下ろした垂線またはその延長線が円Cと交わる点はw_2であることを示せ.ここで,\overline{z_1}z_1の共役な複素数とする.
(3) 2点z_2,~z_3を通る直線とこの直線上に点z_1から下ろした垂線との交点は,点w_1と点w_2を結ぶ線分の中点であることを示せ.ただし,w_1=w_2のときは,w_1w_2の中点はw_1と解釈する.

解答

9.(埼玉大)
複素数平面において,点P\left(\dfrac{1}{2}\right)を中心とし,原点Oを通る円をSとする.S上にO以外の相異なる3点A(a), B(b), C(c)をとる.AとBを通る直線をl_1,BとCを通る直線をl_2,CとAを通る直線をl_3とし,点Oからl_1,~l_2,~l_3に下ろした垂線の足をそれぞれD(d), E(e), F(f)とする.
(1) Q(2ab)ととる.3点O, A, Qおよび3点O, B, Qがそれぞれ一直線上にないとき,\bigtriangleupOAQと\bigtriangleupOBQは二等辺三角形であることを示せ.
(2) 複素数d,~e,~fa,~b,~cを用いて表せ.
(3) 3点D, E, Fは同一直線上にあり,点Oからその直線に下ろした垂線の足を表す複素数はabcであることを示せ.

解答

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