複素数の商2

2019年4月8日

複素数の商の応用問題です。

1.(福岡教育大)
複素数平面において,複素数\alpha,~\beta4\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2=0,~|\alpha-\beta|=1を満たしている.このとき,
(1) \alpha \ne 0であることを示せ.
(2) 複素数\dfrac{\beta}{\alpha}の偏角\thetaを求めよ.ただし,0^{\circ}< \theta < 90^{\circ}とする.
(3) 複素数0,~\alpha,~\betaを表す3つの点を頂点とする三角形の面積を求めよ.

解答

2.(京都大)
\alpha,~\beta,~\gammaは相異なる複素数で,\alpha+\beta+\gamma=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=0を満たすとする.このとき,\alpha,~\beta,~\gammaの表す複素数平面上の3点を結んで得られる三角形はどのような三角形か.

解答

3.(防衛大)
複素数平面上に3点A(\alpha), B(\beta), C(\gamma)がある.\dfrac{\alpha-\gamma}{\beta-\gamma}=\dfrac{\sqrt{3}+i}{2},~|\alpha-\gamma|=4とするとき,\bigtriangleupABCの面積を求めよ.

解答

4.(同志社大)
複素数平面上の相異なる3点A(\alpha), B(\beta), C(\gamma)に対して(3+9i)\alpha-(8+4i)\beta+(5-5i)\gamma=0が成立するとき,
(1) \dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}の実部と虚部を求めよ.
(2) \angle\mbox{ACB}の大きさと\dfrac{\mbox{BC}}{\mbox{AC}}を求めよ.
(3) \dfrac{\mbox{AB}}{\mbox{AC}}を求めよ.

解答

5.(横浜国立大)
異なる複素数\alpha,~\beta,~\gamma2\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-2\alpha\beta-2\alpha\gamma=0を満たすとき
(1) \dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}の値を求めよ.
(2) 複素数平面上で,3点A(\alpha), B(\beta), C(\gamma)を頂点とする\bigtriangleupABCはどのような三角形か.
(3) \alpha,~\beta,~\gammaxの3次方程式x^3+kx+20=0 (kは実数の定数)の解であるとき,\alpha,~\beta,~\gammaおよびkの値を求めよ.

解答

6.(金沢大)
複素数平面上で,複素数\alpha,~\beta,~\gammaを表す点をそれぞれA, B, Cとする.
(1) A, B, Cが正三角形の3頂点であるとき,
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha=0\cdots(*)が成立することを示せ.
(2) 逆に,この関係式(*)が成立するとき,A=B=Cとなるか,または,A, B, Cが正三角形の3頂点となることを示せ.

解答

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