複素数の商２

2016年10月10日2019年4月8日

複素数の商の応用問題です。

１．(福岡教育大)
複素数平面において，複素数 $\alpha,~\beta$ が $4\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2=0,~|\alpha-\beta|=1$ を満たしている．このとき，
(1) $\alpha \ne 0$ であることを示せ．
(2) 複素数 $\dfrac{\beta}{\alpha}$ の偏角 $\theta$ を求めよ．ただし， $0^{\circ}< \theta < 90^{\circ}$ とする．
(3) 複素数 $0,~\alpha,~\beta$ を表す3つの点を頂点とする三角形の面積を求めよ．

→解答

２．(京都大)
$\alpha,~\beta,~\gamma$ は相異なる複素数で， $\alpha+\beta+\gamma=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=0$ を満たすとする．このとき， $\alpha,~\beta,~\gamma$ の表す複素数平面上の3点を結んで得られる三角形はどのような三角形か．

→解答

３．(防衛大)
複素数平面上に3点A $(\alpha)$ , B $(\beta)$ , C $(\gamma)$ がある． $\dfrac{\alpha-\gamma}{\beta-\gamma}=\dfrac{\sqrt{3}+i}{2},~|\alpha-\gamma|=4$ とするとき， $\bigtriangleup$ ABCの面積を求めよ．

→解答

４．(同志社大)
複素数平面上の相異なる3点A $(\alpha)$ , B $(\beta)$ , C $(\gamma)$ に対して $(3+9i)\alpha-(8+4i)\beta+(5-5i)\gamma=0$ が成立するとき，
(1) $\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}$ の実部と虚部を求めよ．
(2) $\angle\mbox{ACB}$ の大きさと $\dfrac{\mbox{BC}}{\mbox{AC}}$ を求めよ．
(3) $\dfrac{\mbox{AB}}{\mbox{AC}}$ を求めよ．

→解答

５．(横浜国立大)
異なる複素数 $\alpha,~\beta,~\gamma$ が $2\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-2\alpha\beta-2\alpha\gamma=0$ を満たすとき
(1) $\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ の値を求めよ．
(2) 複素数平面上で，3点A $(\alpha)$ , B $(\beta)$ , C $(\gamma)$ を頂点とする $\bigtriangleup$ ABCはどのような三角形か．
(3) $\alpha,~\beta,~\gamma$ が $x$ の3次方程式 $x^3+kx+20=0$ ( $k$ は実数の定数)の解であるとき， $\alpha,~\beta,~\gamma$ および $k$ の値を求めよ．

→解答

６．(金沢大)
複素数平面上で，複素数 $\alpha,~\beta,~\gamma$ を表す点をそれぞれA, B, Cとする．
(1) A, B, Cが正三角形の3頂点であるとき，
$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha=0\cdots(*)$ が成立することを示せ．
(2) 逆に，この関係式 $(*)$ が成立するとき，Ａ=B=Cとなるか，または，A, B, Cが正三角形の3頂点となることを示せ．