複素数の商3

2019年4月8日

複素数の商の問題の続きです。

1.(奈良女子大)
(1) 3点0,~z,~z^2を頂点とする三角形が正三角形となるような複素数zをすべて求めよ.
(2) どのような複素数zに対しても,4点0,~z,~z^2,~z^3を頂点とする四角形は正方形とならないことを示せ.

解答

2.
複素数平面上で複素数z,~z^2,~z^3を表す点をそれぞれA, B, Cとし,これらはすべて異なるとする.
(1) 三角形ABCが正三角形であるとき,その面積を求めよ.
(2) \angleBAC=90°のとき,z+\overline{z}の値を求めよ.ただし,\overline{z}zの共役な複素数である.
(3) 三角形ABCは,\angle\mbox{A}=90^{\circ},~\angle\mbox{B}=60^{\circ}の直角三角形であるとする.このとき,三角形ABCの面積を求めよ.

解答

3.(千葉大)
aを実数とし,zを複素数とする.複素数平面上で,a,~z,~z^2,~z^3が表す4点が,ある正方形の4頂点になるとする.ただし,az^2が表す頂点は対角線上にあるとする.このようなazの値をすべて求めよ.

解答

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