相似条件

2019年4月25日

複素数平面上の相似条件の問題です。

1.(Ⅱ.埼玉大)
Ⅰ.複素数平面上の3点A(z_1), B(z_2), C(z_3)を頂点とする\bigtriangleup\mbox{ABC}と,3点P(w_1), Q(w_2), R(w_3)を頂点とする\bigtriangleup\mbox{PQR}について,\dfrac{z_1-z_2}{z_3-z_2}=\dfrac{w_1-w_2}{w_3-w_2}ならば\bigtriangleup\mbox{ABC}∽\bigtriangleup\mbox{PQR}であることを示せ.
Ⅱ.複素数平面上で,原点をO,また,1および2+iを表す点をAおよびBとする.また,2+3iおよび5+5iを表す点をそれぞれPおよびQとする.1点Rをとり,\bigtriangleupOABと\bigtriangleupPQRとが同じ向きに相似で,しかも,点O, A, Bはそれぞれ点P, Q, Rに対応するようにする.このとき,点Rを表す複素数を求めよ.

解答

解答

2.
\bigtriangleupABCの辺BC, CA, ABをm:nの比に内分する点をそれぞれP, Q, Rとするとき,\bigtriangleup\mbox{ABC}\bigtriangleup\mbox{PQR} (同じ向き)ならば,点P, Q, Rは各辺の中点であるか,\bigtriangleupABCが正三角形であることを証明せよ.

解答

3.(信州大)
複素数平面上に原点Oと異なる4点\mbox{P}_1(z_1),~\mbox{P}_2(z_2),~\mbox{P}_3(z_3),~\mbox{P}(z)があり,次の①, ②を満たしている.
z_3=z_1+z_2 \cdots①, \dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_2} \cdots
3点\mbox{O},~\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2は同一直線上にないものとして,
(1) \bigtriangleup\mbox{OPP}_1\bigtriangleup\mbox{OP}_2\mbox{P}_3,~\bigtriangleup\mbox{OPP}_2\bigtriangleup\mbox{OP}_1\mbox{P}_3がそれぞれ成り立つことを証明せよ.
(2) \angle\mbox{P}_1\mbox{OP}_2=90^{\circ}のとき,点Pはどのような点になるか.

解答

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