共円条件

2019年4月8日

共円条件の問題です。

1.(三重大)
複素数平面上に4点z_1=-1,~z_2=1-i,~z_3=3+i,~z_4=-\dfrac{1}{3}+3iをとる.4点z_1,~z_2,~z_3,~z_4は同一円周上にあることを証明せよ.

解答

2.(京都大)
複素数\alphaに対してその共役複素数を\overline{\alpha}で表す.\alphaを実数でない複素数とする.複素数平面内の円C1,~-1,~\alphaを通るならば,C-\dfrac{1}{\overline{\alpha}}も通ることを示せ.

解答

3.(京都大)
相異なる4つの複素数z_1,~z_2,~z_3,~z_4に対してw=\dfrac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}とおく.このとき,以下を証明せよ.
(1) 複素数zが単位円上にあるための必要十分条件は\overline{z}=\dfrac{1}{z}である.
(2) z_1,~z_2,~z_3,~z_4が単位円上にあるとき,wは実数である.
(3) z_1,~z_2,~z_3が単位円上にあり,wが実数であれば,z_4は単位円上にある.

解答

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