共円条件

2016年10月10日2019年4月8日

共円条件の問題です。

１．(三重大)
複素数平面上に4点 $z_1=-1,~z_2=1-i,~z_3=3+i,~z_4=-\dfrac{1}{3}+3i$ をとる．4点 $z_1,~z_2,~z_3,~z_4$ は同一円周上にあることを証明せよ．

２．(京都大)
複素数 $\alpha$ に対してその共役複素数を $\overline{\alpha}$ で表す． $\alpha$ を実数でない複素数とする．複素数平面内の円 $C$ が $1,~-1,~\alpha$ を通るならば， $C$ は $-\dfrac{1}{\overline{\alpha}}$ も通ることを示せ．

→解答

３．(京都大)
相異なる4つの複素数 $z_1,~z_2,~z_3,~z_4$ に対して $w=\dfrac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}$ とおく．このとき，以下を証明せよ．
(1) 複素数 $z$ が単位円上にあるための必要十分条件は $\overline{z}=\dfrac{1}{z}$ である．
(2) $z_1,~z_2,~z_3,~z_4$ が単位円上にあるとき， $w$ は実数である．
(3) $z_1,~z_2,~z_3$ が単位円上にあり， $w$ が実数であれば， $z_4$ は単位円上にある．