ド・モアブルの定理４

2016年10月10日2019年4月25日

ド・モアブルの定理の応用です。

１．(名古屋大)
$n$ を自然数とし，複素数 $z=\cos\theta+i\sin\theta$ は $z^n=1$ を満たすとして以下の和 $S_1,~S_2,~S_3$ の値を求めよ．
(1) $S_1=1+z+z^2+\cdots+z^{n-1}$
(2) $S_2=1+\cos\theta+\cos 2\theta+\cdots+\cos(n-1)\theta$
(3) $S_3=1+\cos^2\theta+\cos^2 2\theta+\cdots+\cos^2(n-1)\theta$

→解答

チェビシェフ多項式にかかわる問題を2つ。

２．(千葉大)
複素数 $z=\cos\dfrac{2\pi}{9}+i\sin\dfrac{2\pi}{9}$ に対し， $\alpha=z+z^8$ とおく． $f(x)$ は整数係数の3次多項式で，3次の係数が1であり，かつ $f(\alpha)=0$ となるものとする．ただし，すべての係数が整数である多項式を，整数係数の多項式という．
(1) $f(x)$ を求めよ．ただし， $f(x)$ がただ1つに決まることは証明しなくてよい．
(2) 3次方程式 $f(x)=0$ の $\alpha$ 以外の2つの解を， $\alpha$ の2次以下の，整数係数の多項式の形で表せ．

→解答

３．(東京都立大)
正の整数 $n$ に対して， $F_n(t)=\dfrac{t^n-\dfrac{1}{t^n}}{t-\dfrac{1}{t}}$ とおく．
(1) $n>1$ に対して $F_n(t)\left(t+\dfrac{1}{t}\right)$ を $F_{n+1}(t)$ と $F_{n-1}(t)$ で表せ．
(2) $x=t+\dfrac{1}{t}$ とおくとき， $F_n(t)=f_n(x)$ となる多項式 $f_n(x)$ が存在することを証明せよ．また， $f_1(x),~f_2(x),~f_3(x)$ を求めよ．
(3) $f_n(0)$ を求めよ．
(4) $t=\cos\theta+i\sin\theta$ とおくことにより，等式 $f_n(2\cos\theta)=\dfrac{\sin n\theta}{\sin\theta}$ が成立することを証明せよ．