ド・モアブルの定理4

2019年4月25日

ド・モアブルの定理の応用です。

1.(名古屋大)
nを自然数とし,複素数z=\cos\theta+i\sin\thetaz^n=1を満たすとして以下の和S_1,~S_2,~S_3の値を求めよ.
(1) S_1=1+z+z^2+\cdots+z^{n-1}
(2) S_2=1+\cos\theta+\cos 2\theta+\cdots+\cos(n-1)\theta
(3) S_3=1+\cos^2\theta+\cos^2 2\theta+\cdots+\cos^2(n-1)\theta

解答

チェビシェフ多項式にかかわる問題を2つ。

2.(千葉大)
複素数z=\cos\dfrac{2\pi}{9}+i\sin\dfrac{2\pi}{9}に対し,\alpha=z+z^8とおく.f(x)は整数係数の3次多項式で,3次の係数が1であり,かつf(\alpha)=0となるものとする.ただし,すべての係数が整数である多項式を,整数係数の多項式という.
(1) f(x)を求めよ.ただし,f(x)がただ1つに決まることは証明しなくてよい.
(2) 3次方程式f(x)=0\alpha以外の2つの解を,\alphaの2次以下の,整数係数の多項式の形で表せ.

解答

3.(東京都立大)
正の整数nに対して,F_n(t)=\dfrac{t^n-\dfrac{1}{t^n}}{t-\dfrac{1}{t}}とおく.
(1) n>1に対してF_n(t)\left(t+\dfrac{1}{t}\right)F_{n+1}(t)F_{n-1}(t)で表せ.
(2) x=t+\dfrac{1}{t}とおくとき,F_n(t)=f_n(x)となる多項式f_n(x)が存在することを証明せよ.また,f_1(x),~f_2(x),~f_3(x)を求めよ.
(3) f_n(0)を求めよ.
(4) t=\cos\theta+i\sin\thetaとおくことにより,等式f_n(2\cos\theta)=\dfrac{\sin n\theta}{\sin\theta}が成立することを証明せよ.

解答

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