n乗根1

2019年4月8日

n乗根の問題です。

1.(鳥取大)
z^{12}=1を満たす複素数は全部で12個あり,それらをz_0,~z_1,~\cdots,~z_{11}とする.
(1) z^{12}=1を満たす12個の複素数をすべて求めよ.
(2) 和z_0+z_1+\cdots+z_{11}の値を求めよ.
(3) 積z_0z_1 \cdots z_{11}の値を求めよ.

2.(金沢大)
(1) z^6+27=0を満たす複素数zをすべて求め,それらを表す点を複素数平面上に図示せよ.
(2) (1)で求めた複素数zを偏角が小さい方から順にz_1,~z_2,~\cdotsとするとき,z_1,~z_2と積z_1z_2の表す3点が複素数平面上で一直線上にあることを示せ.ただし,偏角は0以上2\pi未満とする.

解答

3.(早稲田大)
複素数zz=\cos\dfrac{2\pi}{7}+i\sin\dfrac{2\pi}{7}とおく.
(1) z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6の値を求めよ.
(2) 複素数平面上において,1,~z,~z^2,~z^3,~z^4,~z^5,~z^6が表す点をそれぞれ\mbox{P}_0,~\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2,~\mbox{P}_3,~\mbox{P}_4,~\mbox{P}_5,~\mbox{P}_6とする.\bigtriangleup\mbox{P}_1\mbox{P}_2\mbox{P}_4の重心をQ(\alpha)\bigtriangleup\mbox{P}_3\mbox{P}_5\mbox{P}_6の重心をR(\beta)とおくとき,複素数\alpha\betaを求めよ.
(3) \bigtriangleup\mbox{P}_0\mbox{QR}の面積を求めよ.

解答

4.(大阪大)
aを実数とし,z=\cos 2a\pi+i\sin 2a\piとおく (ただし,i=\sqrt{-1}).
(1) aが有理数であるとき,複素数z,~z^2,~\cdots,~z^n,~\cdotsのうちで相異なるものはいくつあるか.
(2) aが無理数のとき,z,~z^2,~\cdots,~z^n,~\cdotsはすべて相異なることを示せ.

解答

5.(信州大)
(1) \alpha=\cos\theta+i\sin\theta,~n \geqq 1とする.このとき,
\alpha_0=\cos\dfrac{\theta}{n}+i\sin\dfrac{\theta}{n},~\omega=\cos\dfrac{2\pi}{n}+i\sin\dfrac{2\pi}{n}
とおけば方程式z^n=\alphaのすべての解は\alpha_0,~\omega\alpha_0,~\omega^2\alpha_0,~\cdots,~\omega^{n-1}\alpha_0で与えられることを示せ.
(2) 方程式z^3+3iz^2-3z-28i=0のすべての解をa+bi (a,~bは実数)の形で表せ.

解答

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