n乗根１

2016年10月10日2019年4月8日

$n$ 乗根の問題です。

１．(鳥取大)
$z^{12}=1$ を満たす複素数は全部で12個あり，それらを $z_0,~z_1,~\cdots,~z_{11}$ とする．
(1) $z^{12}=1$ を満たす12個の複素数をすべて求めよ．
(2) 和 $z_0+z_1+\cdots+z_{11}$ の値を求めよ．
(3) 積 $z_0z_1 \cdots z_{11}$ の値を求めよ．

２．(金沢大)
(1) $z^6+27=0$ を満たす複素数 $z$ をすべて求め，それらを表す点を複素数平面上に図示せよ．
(2) (1)で求めた複素数 $z$ を偏角が小さい方から順に $z_1,~z_2,~\cdots$ とするとき， $z_1,~z_2$ と積 $z_1z_2$ の表す3点が複素数平面上で一直線上にあることを示せ．ただし，偏角は0以上 $2\pi$ 未満とする．

→解答

３．(早稲田大)
複素数 $z$ を $z=\cos\dfrac{2\pi}{7}+i\sin\dfrac{2\pi}{7}$ とおく．
(1) $z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$ の値を求めよ．
(2) 複素数平面上において， $1,~z,~z^2,~z^3,~z^4,~z^5,~z^6$ が表す点をそれぞれ $\mbox{P}_0,~\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2,~\mbox{P}_3,~\mbox{P}_4,~\mbox{P}_5,~\mbox{P}_6$ とする． $\bigtriangleup\mbox{P}_1\mbox{P}_2\mbox{P}_4$ の重心をQ $(\alpha)$ ， $\bigtriangleup\mbox{P}_3\mbox{P}_5\mbox{P}_6$ の重心をR $(\beta)$ とおくとき，複素数 $\alpha$ と $\beta$ を求めよ．
(3) $\bigtriangleup\mbox{P}_0\mbox{QR}$ の面積を求めよ．

→解答

４．(大阪大)
$a$ を実数とし， $z=\cos 2a\pi+i\sin 2a\pi$ とおく (ただし， $i=\sqrt{-1}$ )．
(1) $a$ が有理数であるとき，複素数 $z,~z^2,~\cdots,~z^n,~\cdots$ のうちで相異なるものはいくつあるか．
(2) $a$ が無理数のとき， $z,~z^2,~\cdots,~z^n,~\cdots$ はすべて相異なることを示せ．

→解答

５．(信州大)
(1) $\alpha=\cos\theta+i\sin\theta,~n \geqq 1$ とする．このとき，
$\alpha_0=\cos\dfrac{\theta}{n}+i\sin\dfrac{\theta}{n},~\omega=\cos\dfrac{2\pi}{n}+i\sin\dfrac{2\pi}{n}$
とおけば方程式 $z^n=\alpha$ のすべての解は $\alpha_0,~\omega\alpha_0,~\omega^2\alpha_0,~\cdots,~\omega^{n-1}\alpha_0$ で与えられることを示せ．
(2) 方程式 $z^3+3iz^2-3z-28i=0$ のすべての解を $a+bi$ ( $a,~b$ は実数)の形で表せ．