n乗根と集合

2019年4月8日

n乗根と集合の問題です。これも巡回群に関わる問題です。

1.(信州大)
Mは有限個の複素数からなる集合で,
(a) 1 \in M,~0 \notin M
(b) z,~w \in Mならばzw \in M
を満たすとする.\alpha \in Mとするとき,
(1) \alpha^n=1となる自然数nが存在することを示せ.
(2) m\alpha^m=1を満たす自然数のうち最小のものとする.このとき,\cos\dfrac{2\pi}{m}+i\sin\dfrac{2\pi}{m} \in Mであることを示せ.

解答

2.(京都府立医大)
0でない複素数からなる集合Gは次を満たしているとする.
Gの任意の要素z,~wの積zwは再びGの要素である.
nを正の整数とする.このとき,
(1) ちょうどn個の複素数からなるGの例をあげよ.
(2) ちょうどn個の複素数からなるGは(1)以外にないことを示せ.

解答

3.(慶応大)
iを虚数単位とする.次の事実がある.
事実F
a,~bを互いに素な正の整数とする.このとき,
\left(\cos\dfrac{2a}{b}\pi+i\sin\dfrac{2a}{b}\pi\right)^k=\cos\dfrac{2}{b}\pi+i\sin\dfrac{2}{b}\pi
となる整数kが存在する.
(1) 等式\left(\cos\dfrac{4}{5}\pi+i\sin\dfrac{4}{5}\pi\right)^k=\cos\dfrac{2}{5}\pi+i\sin\dfrac{2}{5}\piを満たす最小の正の整数kは(  )である.
(2) a,~bを互いに素な正の整数とし,集合P
P={z | zは整数kを用いて\left(\cos\dfrac{2a}{b}\pi+i\sin\dfrac{2a}{b}\pi\right)^kと表される複素数}
で定める.事実Fを考慮すると,集合Pの要素の個数n(P)は(  )である.
(3) 事実Fを証明せよ.
(4) a_1,~b_1を互いに素な正の整数とし,a_2,~b_2も互いに素な正の整数とする.集合Q_1,~Q_2
Q_1={z | zは整数kを用いて\left(\cos\dfrac{2a_1}{b_1}\pi+i\sin\dfrac{2a_1}{b_1}\pi\right)^kと表される複素数}
Q_2={z | zは整数kを用いて\left(\cos\dfrac{2a_2}{b_2}\pi+i\sin\dfrac{2a_2}{b_2}\pi\right)^kと表される複素数}
で定め,集合R
R={z | zは集合Q_1の要素と集合Q_2の要素の積で表される複素数}
で定める.b_1b_2が互いに素ならば,集合Rの個数n(R)は(  )である.b_1b_2が互いに素でないとき,それらの最大公約数をdとすれば,集合Rの要素の個数n(R)は(  )である.

解答

4.(奈良県立医大)
nを3以上の整数とし,複素数z
z=\cos\dfrac{2\pi}{n}+i\sin\dfrac{2\pi}{n},~i=\sqrt{-1}
と定める.a_0,~a_1,~\cdots,~a_{n-1}が1からnまでのすべての整数を動くとき,関数v=(a_0+a_1z+\cdots+a_{n-1}z^{n-1})^nのとりうるすべての値のなす集合をSとおく.さらに,b_0,~b_1,~\cdots,~b_{n-2}が0からn-1までのすべての整数を動くとき,関数w=(b_0+b_1z+\cdots+b_{n-2}z^{n-2})^nのとりうるすべての値のなす集合をTとおく.
(1) 1+z+\cdots+z^{n-1}の値を求めよ.
(2) 2つの集合STは等しいこと,すなわちS=Tが成り立つことを証明せよ.

解答

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