正n角形

2019年4月8日

複素数平面上の正n角形の問題です。

1.(大阪市立大)
各頂点で内角がすべて等しいn角形を等角n角形とよぶ.Kを複素数平面上の等角n角形とし,Kの頂点を反時計回りに\mbox{P}_0(z_0),~\mbox{P}_1(z_1),~\cdots,~\mbox{P}_{n-1}(z_{n-1})とおく.ただし,z_0=0,~z_1=a (aは正の実数)とする.w=\cos\dfrac{360^{\circ}}{n}+i\sin\dfrac{360^{\circ}}{n}とおき,z_n=z_0とするとき,
(1) k=1,~2,~\cdots,~n-1に対して,z_{k+1}=z_k+|z_{k+1}-z_k|w^kを示せ.
(2) a+{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}}|z_{k+1}-z_k|w^k=0を示せ.
(3) |z_2-z_1|,~|z_3-z_2|,~\cdots,~|z_n-z_{n-1}|が等比数列をなすとき,Kは正n角形であることを示せ.

解答

2.(島根医大)
(1) nを2以上の整数とする.複素数平面上の原点を中心とし,半径1の円をn等分する円周上の点を\mbox{A}_1,~\mbox{A}_2,~\cdots,~\mbox{A}_nとする.線分\mbox{A}_1\mbox{A}_n,~\mbox{A}_2\mbox{A}_n,~\cdots,~\mbox{A}_{n-1}\mbox{A}_nの長さをそれぞれa_1,~a_2,~\cdots,~a_{n-1}とするとき,a_1a_2 \cdot\cdots\cdot a_{n-1}=nであることを証明せよ.
(2) 次の式の値を求めよ.
\cos\dfrac{180^{\circ}}{7}\cos\dfrac{2 \cdot 180^{\circ}}{7}\cos\dfrac{3 \cdot 180^{\circ}}{7}

解答

3.(千葉大)
nを2以上の自然数とする.
(1) {\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}}\left(\cos\dfrac{2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\right)=0を示せ.
(2) 原点を中心とする半径1の円周上に,円周をn等分する点\mbox{A}_0,~\mbox{A}_1,~\cdots,~\mbox{A}_{n-1}をとる.さらに,原点を中心とする半径\dfrac{1}{2}の円周上に点Pをとり,線分\mbox{A}_k\mbox{P}の長さをl_k(\mbox{P})とおく.このとき{\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}}l_k(P)^2はPの位置によらず一定の値になることを示せ.また,その値を求めよ.

解答

4.(弘前大)
(1) 複素数平面上の原点Oを中心とする半径1の円周上に4つの複素数\alpha,~\beta,~\gamma,~\deltaがこの順にある.この4つの複素数によってできる四角形の対角線が直交する条件は\alpha\gamma+\beta\delta=0であることを証明せよ.
(2) nを3以上の奇数とする.このとき,正n角形の対角線は直交することがあり得ないことを証明せよ.

解答

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