n乗根2

2019年4月8日

n乗根の応用問題です。

1.(京都教育大)
\alpha=\cos 72^{\circ}+i\sin 72^{\circ}とする.
(1) 1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4=0を示せ.
(2) u=\alpha+\alpha^4,~v=\alpha^2+\alpha^3とおくとき,u+vuvの値を求めよ.
(3) \cos 72^{\circ}の値を求めよ.

解答

2.(小樽商科大)
\theta=\dfrac{360^{\circ}}{7},~\alpha=\cos\theta+i\sin\theta,~\beta=\alpha+\alpha^2+\alpha^4のとき
(1) \overline{\alpha}=\alpha^6を示せ.
(2) \beta+\overline{\beta},~\beta\overline{\beta}を求めよ.
(3) \sin\theta+\sin 2\theta+\sin 4\thetaを求めよ.

解答

3.(早稲田大)
複素数zz^7=1かつz \ne 1を満たす.zの偏角を\thetaとするとき,
(1) z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6は(  )である.
(2) \cos\theta+\cos 2\theta+\cos 4\thetaは(  )である.

解答

4.(九州大)
複素数\alpha\alpha=\cos\dfrac{2\pi}{7}+i\sin\dfrac{2\pi}{7}とおく.ただし,iは虚数単位を表す.
(1) \alpha^6+\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alphaの値を求めよ.
(2) t=\alpha+\overline{\alpha}とおくとき,t^3+t^2-2tの値を求めよ.ただし,\overline{\alpha}\alphaと共役な複素数を表す.
(3) \dfrac{3}{5}<\cos\dfrac{2\pi}{7}<\dfrac{7}{10}を示せ.

解答

5.(佐賀大)
方程式z^5=1の解zについて
(1) zを極形式で表せ.
(2) z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)を用いてz+\dfrac{1}{z}の値を求めよ.
(3) \cos 144^{\circ}の値を求めよ.

解答

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