n乗根２

2016年10月10日2019年4月8日

$n$ 乗根の応用問題です。

１．(京都教育大)
$\alpha=\cos 72^{\circ}+i\sin 72^{\circ}$ とする．
(1) $1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4=0$ を示せ．
(2) $u=\alpha+\alpha^4,~v=\alpha^2+\alpha^3$ とおくとき， $u+v$ と $uv$ の値を求めよ．
(3) $\cos 72^{\circ}$ の値を求めよ．

→解答

２．(小樽商科大)
$\theta=\dfrac{360^{\circ}}{7},~\alpha=\cos\theta+i\sin\theta,~\beta=\alpha+\alpha^2+\alpha^4$ のとき
(1) $\overline{\alpha}=\alpha^6$ を示せ．
(2) $\beta+\overline{\beta},~\beta\overline{\beta}$ を求めよ．
(3) $\sin\theta+\sin 2\theta+\sin 4\theta$ を求めよ．

→解答

３．(早稲田大)
複素数 $z$ は $z^7=1$ かつ $z \ne 1$ を満たす． $z$ の偏角を $\theta$ とするとき，
(1) $z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$ は(　　)である．
(2) $\cos\theta+\cos 2\theta+\cos 4\theta$ は(　　)である．

→解答

４．(九州大)
複素数 $\alpha$ を $\alpha=\cos\dfrac{2\pi}{7}+i\sin\dfrac{2\pi}{7}$ とおく．ただし， $i$ は虚数単位を表す．
(1) $\alpha^6+\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha$ の値を求めよ．
(2) $t=\alpha+\overline{\alpha}$ とおくとき， $t^3+t^2-2t$ の値を求めよ．ただし， $\overline{\alpha}$ は $\alpha$ と共役な複素数を表す．
(3) $\dfrac{3}{5}<\cos\dfrac{2\pi}{7}<\dfrac{7}{10}$ を示せ．