n乗根3

2019年4月8日

n乗根の応用の続きです。

1.(神戸商船大)
方程式z^5=1の虚数解の1つを\alphaとするとき
(1) \alpha以外の相異なる3つの虚数解は\alpha^2,~\alpha^3,~\alpha^4に等しいことを証明せよ.
(2) 積(1-\alpha)(1-\alpha^2)(1-\alpha^3)(1-\alpha^4)の値を求めよ.
(3) 積(1+\alpha)(1+\alpha^2)(1+\alpha^3)(1+\alpha^4)の値を求めよ.

解答

2.(山口大)
方程式x^{2n+1}=1の相異なる解を1,~\alpha_1,~\alpha_2,~\cdots,~\alpha_{2n}とする.ただし,nは正の整数である.
(1) x^{2n+1}-1を上の解を用いて因数分解せよ.
(2) (1+\alpha_1)(1+\alpha_2)\cdots(1+\alpha_{2n})=1を証明せよ.
(3) \alpha_1^2,~\alpha_2^2,~\cdots,~\alpha_{2n}^2は上の方程式の相異なる解であることを示せ.
(4) (1+\alpha_1^2)(1+\alpha_2^2)\cdots(1+\alpha_{2n}^2)の値を求めよ.

解答

3.(北海道大)
nを3以上の自然数とするとき,次を示せ.ただし,\alpha=\cos\dfrac{360^{\circ}}{n}+i\sin\dfrac{360^{\circ}}{n}とし,iは虚数単位とする.
(1) \alpha^k+\overline{\alpha}^k=2\cos\dfrac{360^{\circ}\times k}{n}
ただし,kは自然数とし,\overline{\alpha}\alphaに共役な複素数とする.
(2) n=(1-\alpha)(1-\alpha^2)\cdots(1-\alpha^{n-1})
(3) \dfrac{n}{2^{n-1}}=\sin\dfrac{180^{\circ}}{n}\sin\dfrac{2 \times 180^{\circ}}{n}\cdots\sin\dfrac{(n-1)\times 180^{\circ}}{n}

解答

4.(神戸大)
複素数\alpha=\cos\dfrac{360^{\circ}}{7}+\sin\dfrac{360^{\circ}}{7}に対し,次の式の値を求めよ.ただし,iは虚数単位とする.
(1) \alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^6
(2) \dfrac{1}{1-\alpha}+\dfrac{1}{1-\alpha^6}
(3) \dfrac{1}{1-\alpha}+\dfrac{1}{1-\alpha^2}+\dfrac{1}{1-\alpha^3}+\dfrac{1}{1-\alpha^4}+\dfrac{1}{1-\alpha^5}+\dfrac{1}{1-\alpha^6}
(4) \dfrac{\alpha^2}{1-\alpha}+\dfrac{\alpha^4}{1-\alpha^2}+\dfrac{\alpha^6}{1-\alpha^3}+\dfrac{\alpha^8}{1-\alpha^4}+\dfrac{\alpha^{10}}{1-\alpha^5}+\dfrac{\alpha^{12}}{1-\alpha^6}

解答

5.(龍谷大)
複素数zz=\cos\dfrac{360^{\circ}}{n}+i\sin\dfrac{360^{\circ}}{n}とおく.ただし,nは2以上の自然数である.
(1) z^nの値を求めよ.
(2) \dfrac{1}{1-z^k}+\dfrac{1}{1-z^{n-k}}の値を求めよ.ただし,k1 \leqq k \leqq n-1の範囲の自然数である.
(3) {\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}}\dfrac{1}{1-z^k}の値を求めよ.

解答

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