約数の個数と総和

2018年2月20日

約数の個数とその総和の問題です。

1.A (慶応大)
2016の正の約数は全部で(  )個あり,それらの平均は(  )である.

解答

2.B (慶応大)
(1) 正の整数nの正の約数の個数をd(n)と表す.例えば,d(5)=2,~d(6)=4であり,d(32)=(~~~~~),~d(72)=(~~~~~)である.
一般に,nが素数pの累乗としてn=p^k (kは正の整数)と表されるとき,d(n)=(~~~~~)である.上で求めたd(32)はこの例である.
次に,nが2個の異なる素数p_1,~p_2と正の整数k_1,~k_2を用いてn=p_1^{k_1}p_2^{k_2}と表されるとき,d(n)=(~~~~~)である.上で求めたd(72)はこの例である.
さらに,nr個の異なる素数p_1,~p_2,~\cdots,~p_rと正の整数k_1,~k_2,~\cdots,~k_rによりn=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}と素因数分解されるとき,d(n)k_1,~k_2,~\cdots,~k_rを用いて表すとd(n)=(~~~~~)となる.
(2) d(n)が奇数であることは,nがある整数mを用いてn=m^2と表されることと同値であることを証明せよ.

解答

3.B (早稲田大)
正の約数の個数が28個である最小の正の整数を求めよ.

解答

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