完全数

2018年2月28日

完全数の問題です。

1.B (同志社大)
Nを1以上の整数とする.Nの約数の和が,その整数の2倍になるときその整数Nを完全数という.その例の1つとしてN=28が知られている.
(1) 28の約数をすべて求めよ.また28が完全数であることを示せ.
(2) 異なる2つの素数a,~bに対して,この2つの数の積N=abで表される完全数をすべて求めよ.
(3) x \geqq 2のとき,不等式1<\dfrac{x^2+x+1}{x^2-x-1} \leqq 7が成り立つことを示せ.
(4) 異なる2つの素数c,~dに対して,この2つの数を用いて作られる数N=c^2dで表される完全数をすべて求めよ.
(5) 異なる2つの素数e,~fに対して,この2つの数を用いて作られる数N=e^2f^2で表される完全数が存在しないことを示せ.

解答

次に完全数、メルセンヌ素数の問題です。

2.C (明治大)
自然数aの正の約数の中でa以外のものの和がaに等しいとき,aを完全数という.
(1) 28の正の約数の中で28以外のものをすべて書きあげると(  )であるから,28は完全数である.
(2) 自然数nと素数pに対して,2^{n-1}pのすべての正の約数の和をnpで表せ.ただし,p \ne 2とする.
(3) n2^n-1が素数であるような自然数とする.このとき,2^{n-1}(2^n-1)が完全数であることを示せ.
(4) aが偶数で完全数ならば,ある自然数nに対してa=2^{n-1}(2^n-1)と表されることを示せ.

解答

次は過剰数、不足数の問題です。

3.B (佐賀大)
2以上の自然数nに対して,n以外のnの約数の和をS(n)とする.たとえばS(4)=1+2=3,~S(5)=1,~S(6)=1+2+3=6である.
(1) S(28)およびS(120)を求めよ.
(2) n=2^{m-1}(2^m-1)~(m=2,~3,~4,~\cdots)とする.
(ⅰ) 2^m-1が素数のときのS(n)を求めよ.
(ⅱ) 2^m-1が素数でないとき,S(n)>nであることを証明せよ.

解答

4.B (東京医科歯科大)
自然数nに対して,nのすべての正の約数 (1とnを含む)の和をS(n)とおく.例えば,S(9)=1+3+9=13である.
(1) nが異なる素数pqによってn=pqと表されるとき,S(n)=24を満たすnをすべて求めよ.
(2) nが異なる素数pqによってn=pqと表されるとき,S(n) \geqq 2nを満たすnをすべて求めよ.
(3) nが異なる素数pqによってn=p^2qと表されるとき,S(n) \geqq 2nを満たすnをすべて求めよ.

解答

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