完全数

2016年10月12日2018年2月28日

完全数の問題です。

１．B (同志社大)
$N$ を1以上の整数とする． $N$ の約数の和が，その整数の2倍になるときその整数 $N$ を完全数という．その例の1つとして $N=28$ が知られている．
(1) 28の約数をすべて求めよ．また28が完全数であることを示せ．
(2) 異なる2つの素数 $a,~b$ に対して，この2つの数の積 $N=ab$ で表される完全数をすべて求めよ．
(3) $x \geqq 2$ のとき，不等式 $1<\dfrac{x^2+x+1}{x^2-x-1} \leqq 7$ が成り立つことを示せ．
(4) 異なる2つの素数 $c,~d$ に対して，この2つの数を用いて作られる数 $N=c^2d$ で表される完全数をすべて求めよ．
(5) 異なる2つの素数 $e,~f$ に対して，この2つの数を用いて作られる数 $N=e^2f^2$ で表される完全数が存在しないことを示せ．

→解答

次に完全数、メルセンヌ素数の問題です。

２．C (明治大)
自然数 $a$ の正の約数の中で $a$ 以外のものの和が $a$ に等しいとき， $a$ を完全数という．
(1) 28の正の約数の中で28以外のものをすべて書きあげると(　　)であるから，28は完全数である．
(2) 自然数 $n$ と素数 $p$ に対して， $2^{n-1}p$ のすべての正の約数の和を $n$ と $p$ で表せ．ただし， $p \ne 2$ とする．
(3) $n$ は $2^n-1$ が素数であるような自然数とする．このとき， $2^{n-1}(2^n-1)$ が完全数であることを示せ．
(4) $a$ が偶数で完全数ならば，ある自然数 $n$ に対して $a=2^{n-1}(2^n-1)$ と表されることを示せ．

→解答

次は過剰数、不足数の問題です。

３．B (佐賀大)
2以上の自然数 $n$ に対して， $n$ 以外の $n$ の約数の和を $S(n)$ とする．たとえば $S(4)=1+2=3,~S(5)=1,~S(6)=1+2+3=6$ である．
(1) $S(28)$ および $S(120)$ を求めよ．
(2) $n=2^{m-1}(2^m-1)~(m=2,~3,~4,~\cdots)$ とする．
(ⅰ) $2^m-1$ が素数のときの $S(n)$ を求めよ．
(ⅱ) $2^m-1$ が素数でないとき， $S(n)>n$ であることを証明せよ．

→解答

４．B (東京医科歯科大)
自然数 $n$ に対して， $n$ のすべての正の約数 (1と $n$ を含む)の和を $S(n)$ とおく．例えば， $S(9)=1+3+9=13$ である．
(1) $n$ が異なる素数 $p$ と $q$ によって $n=pq$ と表されるとき， $S(n)=24$ を満たす $n$ をすべて求めよ．
(2) $n$ が異なる素数 $p$ と $q$ によって $n=pq$ と表されるとき， $S(n) \geqq 2n$ を満たす $n$ をすべて求めよ．
(3) $n$ が異なる素数 $p$ と $q$ によって $n=p^2q$ と表されるとき， $S(n) \geqq 2n$ を満たす $n$ をすべて求めよ．