オイラー関数

2018年2月20日

オイラー関数の問題です。

1.B (早稲田大)
自然数nに対して,n以下の自然数でnとの最大公約数が1であるような自然数の個数をf(n)とする.例えば,n=12に対しては,このような自然数は,1,~5,~7,~11の4個なので,f(12)=4である.また,f(1)=1,素数pに対してはf(p)=p-1である.
(1) f(77)の値を求めよ.
(2) f(pq)=24となる2つの素数p,~q~(ただし,p<qとする)の組を求めよ.
(3) k,~nを自然数とするとき,f(2^k3^n)の値をknの式で表せ.

解答

2.C (横浜市立大)
自然数nに対して,実数f(n)を次の規則で定める.
(A) f(1)=1
(B) 素数p,自然数aに対して,f(p^a)=p^a\left(1-\dfrac{1}{p}\right)
(C) 自然数m,~nが互いに素なとき,f(mn)=f(m)f(n)
(1) 自然数n~(n \geqq 2)を,n=p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \cdots \cdot p_r^{a_r}~(a_i \geqq 1)と素因数分解するとき,\dfrac{f(n)}{n}p_1,~\cdots,~p_rを用いて表せ.
(2) f(n)=\dfrac{1}{3}nとなるとき,n=2^a \cdot 3^b~(a \geqq 1,~b \geqq 1)と表されることを示せ.

解答

3.B (一橋大)
nを2以上の整数とする.n以下の正の整数のうち,nとの最大公約数が1となるものの個数をE(n)で表す.たとえば
E(2)=1,~E(3)=2,~E(4)=2,~\cdots,~E(10)=4,~\cdots
である.
(1) E(1024)を求めよ.
(2) E(2015)を求めよ.
(3) mを正の整数とし,pqを異なる素数とする.n=p^mq^mのとき\dfrac{E(n)}{n} \geqq \dfrac{1}{3}が成り立つことを示せ.

解答

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