奇数・偶数

2018年2月21日

奇数、偶数の問題です。

1.B (山口大)
(1) a,~b,~cを整数とする.a+b+cが偶数ならばa,~b,~cの少なくとも1つは偶数であることを示せ.
(2) 整数a_1,~a_2,~a_3,~\cdots,~a_{27}を適当に並び替えたものをb_1,~b_2,~b_3,~\cdots,~b_{27}とする.
(ア) 積(a_1+b_1)\cdot(a_2+b_2)\cdot(a_3+b_3)\cdot\cdots\cdot(a_{27}+b_{27})は偶数であることを示せ.
(イ) {\displaystyle\sum_{k=1}^{27}}a_k=Sとする.整数p,~qp+q+1=Sを満たすとき,積(pa_1+qb_1)\cdot(pa_2+qb_2)\cdot(pa_3+qb_3)\cdot\cdots\cdot(pa_{27}+qb_{27})は偶数であるか奇数であるかを理由を付けて答えよ.

解答

次は2項係数の問題です。最近よく見かけます。

2.C ((1) 明治大 (2) 東京大)
(1) _n\mbox{C}_5が5の倍数となるような整数nは,100 \leqq n \leqq 125の範囲に何個あるか.
(2) mを2015以下の正の整数とする._{2015}\mbox{C}_mが偶数となる最小のmを求めよ.

解答

3.B (熊本大)
nを3以上の奇数として,集合A_n=\{_n\mbox{C}_1,~_n\mbox{C}_2,~\cdots_n\mbox{C}_{\frac{n-1}{2}}\}を考える.
(1) A_9のすべての要素を求め,それらの和を求めよ.
(2) _n\mbox{C}_{\frac{n-1}{2}}A_n内の最大の数であることを示せ.
(3) A_n内の奇数の個数をmとする.mは奇数であることを示せ.

解答

発展問題を1つ。

4.D (東京大)
(1) kを自然数とする.mm=2^kとおくとき,0<n<mを満たすすべての整数nについて,二項係数_m\mbox{C}_nは偶数であることを示せ.
(2) 以下の条件を満たす自然数mをすべて求めよ.
条件:0 \leqq n \leqq mを満たすすべての整数nについて,二項係数_m\mbox{C}_nは奇数である.

解答

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