素数1

2018年2月28日

素数の問題です。まずは素数とは何かという問題からです。

1.A ((1) 明治学院大 (2) 工学院大 (3) 宮崎大 (4) 京都府立医大)
(1) n^2-20n+91の値が素数となる整数nは,(  )と(  )である.
(2) mを正の整数とする.P=m^3-4m^2-4m-5が素数となるとき,Pの値を求めよ.
(3) nを2以上の自然数とするとき,n^4+4は素数にならないことを示せ.
(4) nが自然数であるとき,2^n-1が素数ならば,nも素数であることを証明しなさい.

解答

2.B (早稲田大)
pを5以上の素数とする.p^3p-4で割った余りが4であるとき,pの値を求めよ.

解答

3.C (千葉大)
a,~bは2以上の整数とする.
(1) a^b-1が素数ならば,a=2であり,bは素数であることを証明せよ.
(2) a^b+1が素数ならば,b=2^c (cは整数)と表せることを証明せよ.

解答

次に素数の性質に関する問題です。素数を小さい順に並べたときにそこに規則性はないので、ある数が素数であるかを判定するだけでも大変です。素数の見つけ方の1つにエラトステネスの篩という方法がありますが、どこまで篩にかければよいのかということをテーマとした問題を1つ。

4.B (兵庫県立大)
10以下の正の素数は,2, 3, 5, 7に限られ,それらは,103の約数ではない.この事実を用いて,103は素数であることを示せ.

解答

次は素数が無限にあることのユークリッドの証明です。

5.B (成城大)
2,~3,~5,~7,~11,~\cdotsのように,1より大きい整数のうち1とそれ自身でしか割り切れない数を素数という.
(1) pを素数とするとき,n=p!+1p以下の素数では割り切れないことを示せ.
(2) 命題「要素が自然数である集合Aが有限集合ならば,Aには最大の要素がある」は真である.これを用いて,素数全体の集合が無限集合であることを証明せよ.

解答

6.B (東京工業大)
nを2以上の自然数とする
(1) nが素数または4のとき,(n-1)!nで割り切れないことを示せ.
(2) nが素数でなくかつ4でもないとき,(n-1)!nで割り切れることを示せ.

解答

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