素数１

2016年10月12日2018年2月28日

素数の問題です。まずは素数とは何かという問題からです。

１．A ((1) 明治学院大　(2) 工学院大　(3) 宮崎大　(4) 京都府立医大)
(1) $n^2-20n+91$ の値が素数となる整数 $n$ は，(　　)と(　　)である．
(2) $m$ を正の整数とする． $P=m^3-4m^2-4m-5$ が素数となるとき， $P$ の値を求めよ．
(3) $n$ を2以上の自然数とするとき， $n^4+4$ は素数にならないことを示せ．
(4) $n$ が自然数であるとき， $2^n-1$ が素数ならば， $n$ も素数であることを証明しなさい．

→解答

２．B (早稲田大)
$p$ を5以上の素数とする． $p^3$ を $p-4$ で割った余りが4であるとき， $p$ の値を求めよ．

→解答

３．C (千葉大)
$a,~b$ は2以上の整数とする．
(1) $a^b-1$ が素数ならば， $a=2$ であり， $b$ は素数であることを証明せよ．
(2) $a^b+1$ が素数ならば， $b=2^c$ ( $c$ は整数)と表せることを証明せよ．

→解答

次に素数の性質に関する問題です。素数を小さい順に並べたときにそこに規則性はないので、ある数が素数であるかを判定するだけでも大変です。素数の見つけ方の1つにエラトステネスの篩という方法がありますが、どこまで篩にかければよいのかということをテーマとした問題を1つ。

４．B (兵庫県立大)
10以下の正の素数は，2, 3, 5, 7に限られ，それらは，103の約数ではない．この事実を用いて，103は素数であることを示せ．

→解答

次は素数が無限にあることのユークリッドの証明です。

５．B (成城大)
$2,~3,~5,~7,~11,~\cdots$ のように，1より大きい整数のうち1とそれ自身でしか割り切れない数を素数という．
(1) $p$ を素数とするとき， $n=p!+1$ は $p$ 以下の素数では割り切れないことを示せ．
(2) 命題「要素が自然数である集合 $A$ が有限集合ならば， $A$ には最大の要素がある」は真である．これを用いて，素数全体の集合が無限集合であることを証明せよ．