剰余の問題1

2018年2月26日

余りの問題です。

1.A (近畿大)
mは7で割れば3余る整数,nは7で割れば4余る整数とする.このとき,
(1) m+2nを7で割ると余りは(  )である.
(2) mnを7で割ると余りは(  )である.
(3) n^3を7で割ると余りは(  )である.
(4) n^{2001}を7で割ると余りは(  )である.

解答

2.A (新潟大)
次の問いに答えよ.ただし,数値はすべて10進数とする.
(1) 7^{12}の1の位を求めよ.
(2) nが自然数のとき,117^nの1の位は1, 3, 7, 9のいずれかであることを証明せよ.
(3) 117^{2002}の1の位を求めよ.

解答

3.C (東京医科歯科大)
自然数nに対して,nのすべての正の約数 (1とnを含む)の和をS(n)とおく.たとえば,S(9)=1+3+9=13である.このとき
(1) nが異なる素数pqによってn=p^2qと表されるとき,S(n)=2nを満たすnをすべて求めよ.
(2) aを自然数とする.n=2^a-1S(n)=n+1を満たすとき,aは素数であることを示せ.
(3) aを2以上の自然数とする.n=2^{a-1}(2^a-1)S(n) \leqq 2nを満たすとき,nの1の位は6か8であることを示せ.

解答

4.C (東京大)
正の整数の下2桁とは,100の位以上を無視した数をいう.例えば2000, 12345の下2桁はそれぞれ0, 45である.mが正の整数全体を動くとき,5m^4の下2桁として現れる数をすべて求めよ.

解答

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