剰余の問題2

2018年2月26日

剰余の問題の続きです。

1.A ((1) 学習院大 (2) 東京女子大)
(1) どのようなnに対しても,n^2+n+1は5で割り切れないことを示せ.
(2) nを自然数とする.n^3+2n+1を3で割ると1余ることを証明せよ.

解答

2.A (京都産業大)
a,~bを自然数とする.
(1) a^2を7で割った余りは,0, 1, 2, 4のいずれかに等しいことを示せ.
(2) a^2+b^27の倍数ならば,a,~bはともに7の倍数であることを示せ.

解答

3.B (横浜国立大)
(1) x^2+y^2+z^2=nを満たす整数の組(x,y,z)が存在しないような正の整数nを小さいものから順に5個求めよ.
(2) 整数の2乗を8で割ったとき,余りとなりうる数をすべて求めよ.
(3) 「正の整数nを8で割ったときの余りが7ならば,x^2+y^2+z^2=nを満たす整数の組(x,y,z)は存在しない」というのは,常に正しいか.理由を述べて答えよ.

解答

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