剰余の問題２

2016年10月12日2018年2月26日

剰余の問題の続きです。

１．A ((1) 学習院大　(2) 東京女子大)
(1) どのような $n$ に対しても， $n^2+n+1$ は5で割り切れないことを示せ．
(2) $n$ を自然数とする． $n^3+2n+1$ を3で割ると1余ることを証明せよ．

２．A (京都産業大)
$a,~b$ を自然数とする．
(1) $a^2$ を7で割った余りは，0, 1, 2, 4のいずれかに等しいことを示せ．
(2) $a^2+b^2$ が $7$ の倍数ならば， $a,~b$ はともに7の倍数であることを示せ．

→解答

３．B (横浜国立大)
(1) $x^2+y^2+z^2=n$ を満たす整数の組 $(x,y,z)$ が存在しないような正の整数 $n$ を小さいものから順に5個求めよ．
(2) 整数の2乗を8で割ったとき，余りとなりうる数をすべて求めよ．
(3) 「正の整数 $n$ を8で割ったときの余りが7ならば， $x^2+y^2+z^2=n$ を満たす整数の組 $(x,y,z)$ は存在しない」というのは，常に正しいか．理由を述べて答えよ．

→解答

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Posted by 山彦のフドウ

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